Упр.1103 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) 4/(1-x)+1/(1-x)^2 > 12; б) 3/(3-x)+1/(3-x)^2 > 18;
в) 4/(3-x)+1/(4-x)^2?5; г) 3/(3-x)+1/(3-x)^2?10.

1. а) $$\frac{4}{1-x}+\frac{1}{(1-x)^2}>12.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{4(1-x)+1}{(1-x)^2}>12,$$

   $$4-4x+1>12(1-2x+x^2),$$

   $$5-4x>12-24x+12x^2,$$

   $$12x^2-20x+7<0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(-20)^2-4\cdot 12\cdot 7=64,$$

   $$x_{1,2}=\frac{20\pm 8}{24}, \quad x_1=\frac12,\quad x_2=\frac76.$$

   Тогда

   $$\left(x-\frac12\right)\left(x-\frac76\right)<0,$$

   откуда

   $$\frac12<x<\frac76.$$

   С учётом ОДЗ $$x\ne 1$$ получаем:

   $$x\in\left(\frac12;1\right)\cup\left(1;\frac76\right).$$

2. б) $$\frac{3}{3-x}+\frac{1}{(3-x)^2}>18.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{3(3-x)+1}{(3-x)^2}>18,$$

   $$9-3x+1>18(9-6x+x^2),$$

   $$10-3x>162-108x+18x^2,$$

   $$18x^2-105x+152<0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(-105)^2-4\cdot 18\cdot 152=81,$$

   $$x_{1,2}=\frac{105\pm 9}{36}, \quad x_1=\frac83,\quad x_2=\frac{19}{6}.$$

   Тогда

   $$\left(x-\frac83\right)\left(x-\frac{19}{6}\right)<0,$$

   откуда

   $$\frac83<x<\frac{19}{6}.$$

   С учётом ОДЗ $$x\ne 3$$ получаем:

   $$x\in\left(\frac83;3\right)\cup\left(3;\frac{19}{6}\right).$$

3. в) $$\frac{4}{4-x}+\frac{1}{(4-x)^2}\le 5.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{4(4-x)+1}{(4-x)^2}\le 5,$$

   $$16-4x+1\le 5(16-8x+x^2),$$

   $$17-4x\le 80-40x+5x^2,$$

   $$5x^2-36x+63\ge 0.$$

   Найдём корни:

   $$D=36^2-4\cdot 5\cdot 63=36,$$

   $$x_{1,2}=\frac{36\pm 6}{10}, \quad x_1=3,\quad x_2=\frac{21}{5}.$$

   Тогда

   $$ (x-3)\left(x-\frac{21}{5}\right)\ge 0,$$

   откуда

   $$x\le 3 \quad \text{или} \quad x\ge \frac{21}{5}.$$

   С учётом ОДЗ $$x\ne 4$$ получаем:

   $$x\in(-\infty;3]\cup\left[\frac{21}{5};+\infty\right).$$

4. г) $$\frac{3}{3-x}+\frac{1}{(3-x)^2}\le 10.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{3(3-x)+1}{(3-x)^2}\le 10,$$

   $$9-3x+1\le 10(9-6x+x^2),$$

   $$10-3x\le 90-60x+10x^2,$$

   $$10x^2-57x+80\ge 0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(-57)^2-4\cdot 10\cdot 80=49,$$

   $$x_{1,2}=\frac{57\pm 7}{20}, \quad x_1=\frac52,\quad x_2=\frac{16}{5}.$$

   Тогда

   $$\left(x-\frac52\right)\left(x-\frac{16}{5}\right)\ge 0,$$

   откуда

   $$x\le \frac52 \quad \text{или} \quad x\ge \frac{16}{5}.$$

   С учётом ОДЗ $$x\ne 3$$ получаем:

   $$x\in(-\infty;\frac52]\cup\left[\frac{16}{5};+\infty\right).$$

Ответ

а) $$x\in\left(\frac12;1\right)\cup\left(1;\frac76\right);$$ б) $$x\in\left(\frac83;3\right)\cup\left(3;\frac{19}{6}\right);$$ в) $$x\in(-\infty;3]\cup\left[\frac{21}{5};+\infty\right);$$ г) $$x\in(-\infty;\frac52]\cup\left[\frac{16}{5};+\infty\right).$$