Упр.1102 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) (5x+2)/(3x^2+1) < (x+6)/(3x^2+1); б) (3x-5)/(6x^2+7) > (x-1)/(6x^2+7);
в) (x^2+1)/(2x-3) > (x^2+1)/(3x-2); г) (x^2+4)/(3x-5) < (x^2+4)/(5x-3); д) (x^2)/(x-1)?4/(x-1); е) (x^2)/(x+2)?9/(x+2).

1. а)

   $$\frac{5x+2}{3x^2+1}<\frac{x+6}{3x^2+1}$$ $$5x+2<x+6$$ $$4x<4$$ $$x<1$$

   Так как $$3x^2+1>0$$ при любых $$x$$, получаем:

   Ответ: $$x\in(-\infty;1).$$

2. б)

   $$\frac{3x-5}{6x^2+7}>\frac{x-1}{6x^2+7}$$
   $$3x-5>x-1$$
   $$2x>4$$
   $$x>2$$

   Так как $$6x^2+7>0$$ при любых $$x$$, получаем:

   Ответ: $$x\in(2;+\infty).$$

3. в)

   $$\frac{x^2+1}{2x-3}>\frac{x^2+1}{3x-2}$$
   $$\frac{(x^2+1)(3x-2)-(x^2+1)(2x-3)}{(2x-3)(3x-2)}>0$$
   $$\frac{(x^2+1)(x+1)}{(2x-3)(3x-2)}>0$$

   Так как $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, решаем неравенство
   $$\frac{x+1}{(2x-3)(3x-2)}>0.$$

   Критические точки: $$x=-1,\; x=\frac23,\; x=\frac32.$$

   Знак дроби положителен на промежутках
   $$(-1;\frac23)\cup(\frac32;+\infty).$$

   Ответ: $$x\in(-1;\frac23)\cup\left(\frac32;+\infty\right).$$

4. г)

   $$\frac{x^2+4}{3x-5}<\frac{x^2+4}{5x-3}$$ $$\frac{(x^2+4)(5x-3)-(x^2+4)(3x-5)}{(3x-5)(5x-3)}<0$$ $$\frac{(x^2+4)(2x+2)}{(3x-5)(5x-3)}<0$$ $$\frac{x+1}{(3x-5)(5x-3)}<0$$

   Критические точки: $$x=-1,\; x=\frac35,\; x=\frac53.$$

   Знак дроби отрицателен на промежутках
   $$(-\infty;-1)\cup\left(\frac35;\frac53\right).$$

   Ответ: $$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac35;\frac53\right).$$

5. д)

   $$\frac{x^2}{x-1}\ge \frac{4}{x-1}$$
   $$\frac{x^2-4}{x-1}\ge 0$$
   $$\frac{(x-2)(x+2)}{x-1}\ge 0$$

   Критические точки: $$x=-2,\; x=1,\; x=2.$$

   Знак неотрицателен на промежутках
   $$[-2;1)\cup[2;+\infty).$$

   Ответ: $$x\in[-2;1)\cup[2;+\infty).$$

6. е)

   $$\frac{x^2}{x+2}\le \frac{9}{x+2}$$
   $$\frac{x^2-9}{x+2}\le 0$$
   $$\frac{(x-3)(x+3)}{x+2}\le 0$$

   Критические точки: $$x=-3,\; x=-2,\; x=3.$$

   Знак не положителен на промежутках
   $$(-\infty;-3]\cup(-2;3].$$

   Ответ: $$x\in(-\infty;-3]\cup(-2;3].$$