Упр.1102 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
Решите неравенство:
а) $$\frac{5x+2}{3x^2+1}<\frac{x+6}{3x^2+1}$$;
б) $$\frac{3x-5}{6x^2+7}>\frac{x-1}{6x^2+7}$$;
в) $$\frac{x^2+1}{2x-3}>\frac{x^2+1}{3x-2}$$;
г) $$\frac{x^2+4}{3x-5}<\frac{x^2+4}{5x-3}$$;
д) $$\frac{x^2}{x-1}? \frac{4}{x-1}$$;
е) $$\frac{x^2}{x+2}? \frac{9}{x+2}$$.
а)
$$\frac{5x+2}{3x^2+1}<\frac{x+6}{3x^2+1}$$ $$5x+2<x+6$$ $$4x<4$$ $$x<1$$
Так как $$3x^2+1>0$$ при любых $$x$$, получаем:
Ответ: $$x\in(-\infty;1).$$
б)
$$\frac{3x-5}{6x^2+7}>\frac{x-1}{6x^2+7}$$
$$3x-5>x-1$$
$$2x>4$$
$$x>2$$Так как $$6x^2+7>0$$ при любых $$x$$, получаем:
Ответ: $$x\in(2;+\infty).$$
в)
$$\frac{x^2+1}{2x-3}>\frac{x^2+1}{3x-2}$$
$$\frac{(x^2+1)(3x-2)-(x^2+1)(2x-3)}{(2x-3)(3x-2)}>0$$
$$\frac{(x^2+1)(x+1)}{(2x-3)(3x-2)}>0$$Так как $$x^2+1>0$$ при любых $$x$$, решаем неравенство
$$\frac{x+1}{(2x-3)(3x-2)}>0.$$Критические точки: $$x=-1,\; x=\frac23,\; x=\frac32.$$
Знак дроби положителен на промежутках
$$(-1;\frac23)\cup(\frac32;+\infty).$$Ответ: $$x\in(-1;\frac23)\cup\left(\frac32;+\infty\right).$$
г)
$$\frac{x^2+4}{3x-5}<\frac{x^2+4}{5x-3}$$ $$\frac{(x^2+4)(5x-3)-(x^2+4)(3x-5)}{(3x-5)(5x-3)}<0$$ $$\frac{(x^2+4)(2x+2)}{(3x-5)(5x-3)}<0$$ $$\frac{x+1}{(3x-5)(5x-3)}<0$$
Критические точки: $$x=-1,\; x=\frac35,\; x=\frac53.$$
Знак дроби отрицателен на промежутках
$$(-\infty;-1)\cup\left(\frac35;\frac53\right).$$Ответ: $$x\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac35;\frac53\right).$$
д)
$$\frac{x^2}{x-1}\ge \frac{4}{x-1}$$
$$\frac{x^2-4}{x-1}\ge 0$$
$$\frac{(x-2)(x+2)}{x-1}\ge 0$$Критические точки: $$x=-2,\; x=1,\; x=2.$$
Знак неотрицателен на промежутках
$$[-2;1)\cup[2;+\infty).$$Ответ: $$x\in[-2;1)\cup[2;+\infty).$$
е)
$$\frac{x^2}{x+2}\le \frac{9}{x+2}$$
$$\frac{x^2-9}{x+2}\le 0$$
$$\frac{(x-3)(x+3)}{x+2}\le 0$$Критические точки: $$x=-3,\; x=-2,\; x=3.$$
Знак не положителен на промежутках
$$(-\infty;-3]\cup(-2;3].$$Ответ: $$x\in(-\infty;-3]\cup(-2;3].$$
