Упр.1101 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Решите неравенство:

1. а) $$\left(1+x\right)^2<\left|1-x^2\right|$$; б) $$\left|1-x^2\right|<\left(1-x\right)^2$$.

1. а) Рассмотрим знак выражения под модулем:

   $$1-x^2>0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; -1<x<1.$$

   Если $$x\in(-1;1),$$ то

   $$(1+x)^2<1-x^2$$

   $$x^2+2x+1<1-x^2$$

   $$2x^2+2x<0$$

   $$2x(x+1)<0$$

   Отсюда

   $$-1<x<0.$$

   Если $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ то

   $$(1+x)^2<-(1-x^2)$$

   $$x^2+2x+1<x^2-1$$

   $$2x<-2$$

   $$x<-1.$$

   С учётом области рассмотрения получаем:

   $$x\in(-\infty;-1).$$

   Итак,

   $$x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0).$$

2. б) Сначала найдём, где выражение под модулем неотрицательно:

   $$1-x^2\ge 0 \;\;\Longleftrightarrow\;\; -1\le x\le 1.$$

   Если $$x\in[-1;1],$$ то

   $$1-x^2<(1-x)^2$$

   $$1-x^2<1-2x+x^2$$

   $$2x^2-2x>0$$

   $$2x(x-1)>0$$

   Отсюда $$x<0$$ или $$x>1,$$ но с учётом $$x\in[-1;1]$$ получаем

   $$x\in[-1;0).$$

   Если $$x\in(-\infty;-1)\cup(1;+\infty),$$ то

   $$-(1-x^2)<(1-x)^2$$

   $$x^2-1<1-2x+x^2$$

   $$2x<2$$

   $$x<1.$$

   С учётом области рассмотрения получаем:

   $$x\in(-\infty;-1).$$

   Объединяя результаты, имеем

   $$x\in(-\infty;0).$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-1)\cup(-1;0).$$

б) $$x\in(-\infty;0).$$