Упр.1100 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) (2x-3)^2?(5x+9)^2; б) (4x+3)^2?(9x-7)^2;
в) (x-3)(x-2)^2?0; г) (x-5)(x+1)^2?0;
д) 25x^4?16x^2; е) 4x^4?9x^2.

1. а) $$ (2x-3)^2 \ge (5x+9)^2 $$

   $$ (2x-3)^2-(5x+9)^2 \ge 0 $$
   $$ \bigl((2x-3)-(5x+9)\bigr)\bigl((2x-3)+(5x+9)\bigr)\ge 0 $$
   $$ (-3x-12)(7x+6)\ge 0 $$
   $$ 3(x+4)(7x+6)\le 0 $$

   Отсюда
   $$ x \in \left[-4;\,-\frac{6}{7}\right]. $$

2. б) $$ (4x+3)^2 \le (9x-7)^2 $$

   $$ (9x-7)^2-(4x+3)^2 \ge 0 $$
   $$ \bigl((9x-7)-(4x+3)\bigr)\bigl((9x-7)+(4x+3)\bigr)\ge 0 $$
   $$ (5x-10)(13x-4)\ge 0 $$
   $$ 5(x-2)(13x-4)\ge 0 $$

   Отсюда
   $$ x \in \left(-\infty;\,\frac{4}{13}\right] \cup [2;\,+\infty). $$

3. в) $$ (x-3)(x-2)^2 \ge 0 $$

   Так как $$ (x-2)^2 \ge 0 $$ при любом $$x$$, то знак произведения определяется множителем $$x-3$$, а при $$x=2$$ произведение равно нулю.

   Следовательно,
   $$ x=2 \quad \text{или} \quad x\ge 3. $$

   $$ x \in \{2\}\cup[3;\,+\infty). $$

4. г) $$ (x-5)(x+1)^2 \ge 0 $$

   Так как $$ (x+1)^2 \ge 0 $$ при любом $$x$$, то нужно учесть случай $$x=-1$$, когда произведение равно нулю, и случай $$x-5\ge 0$$.

   Получаем:
   $$ x=-1 \quad \text{или} \quad x\ge 5. $$

   $$ x \in \{-1\}\cup[5;\,+\infty). $$

5. д) $$ 25x^4 \ge 16x^2 $$

   $$ 25x^4-16x^2 \ge 0 $$
   $$ x^2(25x^2-16)\ge 0 $$
   $$ x^2(5x-4)(5x+4)\ge 0 $$

   Так как $$x^2\ge 0$$, то нужно рассмотреть нули множителей:
   $$ x=0,\quad x=\pm \frac45. $$
   Знак произведения неотрицателен при
   $$ x\le -\frac45,\quad x=0,\quad x\ge \frac45. $$

   $$ x \in \left(-\infty;\,-\frac45\right]\cup\{0\}\cup\left[\frac45;\,+\infty\right). $$

6. е) $$ 4x^4 \ge 9x^2 $$

   $$ 4x^4-9x^2 \ge 0 $$
   $$ x^2(4x^2-9)\ge 0 $$
   $$ x^2(2x-3)(2x+3)\ge 0 $$

   Нули произведения:
   $$ x=0,\quad x=\pm \frac32. $$
   Тогда
   $$ x\le -\frac32,\quad x=0,\quad x\ge \frac32. $$

   $$ x \in \left(-\infty;\,-\frac32\right]\cup\{0\}\cup\left[\frac32;\,+\infty\right). $$

Ответ

а) $$x \in \left[-4;\,-\frac{6}{7}\right]$$;
б) $$x \in \left(-\infty;\,\frac{4}{13}\right] \cup [2;\,+\infty)$$;
в) $$x \in \{2\}\cup[3;\,+\infty)$$;
г) $$x \in \{-1\}\cup[5;\,+\infty)$$;
д) $$x \in \left(-\infty;\,-\frac45\right]\cup\{0\}\cup\left[\frac45;\,+\infty\right)$$;
е) $$x \in \left(-\infty;\,-\frac32\right]\cup\{0\}\cup\left[\frac32;\,+\infty\right).$$