Упр.1091 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) y=x+1/x; б) y=9x+1/x; в) y=x+1/(4x); г) y=4x+1/(25x).
а) $$y=x+\frac{1}{x}=\frac{x^2+1}{x}=\frac{x^2-2x+1+2x}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}+2.$$
При $$x>0$$ имеем $$\frac{(x-1)^2}{x}\ge 0,$$ значит наименьшее значение функции достигается при $$x=1.$$
б) $$y=9x+\frac{1}{x}=\frac{9x^2+1}{x}=\frac{9x^2-6x+1+6x}{x}=\frac{(3x-1)^2}{x}+6.$$
При $$x>0$$ выражение $$\frac{(3x-1)^2}{x}\ge 0,$$ поэтому минимум достигается при $$3x-1=0,$$ то есть $$x=\frac{1}{3}.$$
в) $$y=x+\frac{1}{4x}=\frac{4x^2+1}{4x}=\frac{4x^2-4x+1+4x}{4x}=\frac{(2x-1)^2}{4x}+1.$$
При $$x>0$$ имеем $$\frac{(2x-1)^2}{4x}\ge 0,$$ значит минимум достигается при $$2x-1=0,$$ то есть $$x=\frac{1}{2}.$$
г) $$y=4x+\frac{1}{25x}=\frac{100x^2+1}{25x}=\frac{100x^2-20x+1+20x}{25x}=\frac{(10x-1)^2}{25x}+\frac{4}{5}.$$
При $$x>0$$ выражение $$\frac{(10x-1)^2}{25x}\ge 0,$$ поэтому минимум достигается при $$10x-1=0,$$ то есть $$x=\frac{1}{10}.$$
Ответ
а) $$1$$; б) $$\frac{1}{3}$$; в) $$\frac{1}{2}$$; г) $$\frac{1}{10}$$.
