Упр.1083 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1083. Докажите, что полупериметр треугольника больше каждой из сторон этого треугольника.

Пусть $$a, b, c$$ — длины сторон треугольника, тогда полупериметр равен

$$p=\frac{a+b+c}{2}.$$

Рассмотрим разности полупериметра и сторон:

$$p-a=\frac{a+b+c}{2}-a=\frac{b+c-a}{2},$$

$$p-b=\frac{a+b+c}{2}-b=\frac{a+c-b}{2},$$

$$p-c=\frac{a+b+c}{2}-c=\frac{a+b-c}{2}.$$

По неравенству треугольника имеем:

$$a<b+c,\quad b<a+c,\quad c<a+b.$$

Тогда

$$b+c-a>0,\quad a+c-b>0,\quad a+b-c>0.$$

Следовательно,

$$p-a>0,\quad p-b>0,\quad p-c>0.$$

Значит, полупериметр треугольника больше каждой из его сторон.

Ответ

$$p>a,\quad p>b,\quad p>c.$$