Упр.1080 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Какое наименьшее значение может принять выражение $$a^2+b^2$$, если $$a>0$$, $$b>0$$, $$a+b=2$$?

Из условия $$a+b=2$$, значит $$b=2-a$$, где $$0<a<2$$.

Тогда

$$a^2+b^2=a^2+(2-a)^2=2a^2-4a+4.$$

Это квадратный трёхчлен с ветвями параболы вверх, поэтому наименьшее значение достигается в вершине:

$$a_0=\frac{-(-4)}{2\cdot 2}=1.$$

Подставим:

$$a^2+b^2=2\cdot 1^2-4\cdot 1+4=2.$$

При этом $$b=2-1=1$$, и условия $$a>0$$, $$b>0$$ выполняются.

Ответ

$$2$$