Упр.1078 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1078. В какую погоду самолёт, летящий из Москвы в Санкт-Петербург и обратно, выполнит быстрее рейс: в безветренную или при ветре, дующем с постоянной скоростью от Москвы в направлении Санкт-Петербурга?

Обозначим: $$S$$ — расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом, $$v_1$$ — собственная скорость самолёта, $$v_2$$ — скорость ветра.

Тогда время полёта в безветренную погоду равно

$$t_1=\frac{S}{v_1}+\frac{S}{v_1}=\frac{2S}{v_1}.$$

При ветре, дующем от Москвы в направлении Санкт-Петербурга, на пути туда скорость самолёта будет $$v_1+v_2$$, а обратно — $$v_1-v_2$$. Поэтому

$$t_2=\frac{S}{v_1+v_2}+\frac{S}{v_1-v_2}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$ t_2=\frac{S(v_1-v_2)+S(v_1+v_2)}{(v_1+v_2)(v_1-v_2)} =\frac{2Sv_1}{v_1^2-v_2^2}. $$

Сравним времена:

$$ t_1-t_2=\frac{2S}{v_1}-\frac{2Sv_1}{v_1^2-v_2^2} =\frac{2S(v_1^2-v_2^2)-2Sv_1^2}{v_1(v_1^2-v_2^2)} =\frac{-2Sv_2^2}{v_1(v_1-v_2)(v_1+v_2)}. $$

Так как $$v_1>v_2>0$$, то знаменатель положителен, а числитель отрицателен. Значит,

$$t_1-t_2<0,$$

то есть

$$t_1<t_2.$$

Ответ

Быстрее рейс выполнится в безветренную погоду.