Упр.1077 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

б) Автомобилист проехал некоторое расстояние со скоростью a км/ч, потом точно такое же расстояние со скоростью b км/ч. Выразите через a и b среднюю скорость движения на всём пути (обозначьте её v_2).
в) Сравните v_1 и v_2 (см. предыдущие задания).
г) Для положительных чисел a и b различают: среднее арифметическое чисел a и b — число A=(a+b)/2; среднее геометрическое чисел a и b — число G=v(ab); среднее гармоническое чисел a и b — число H, такое, что 1/H=(1/a+1/b)/2, откуда H=2ab/(a+b). Докажите, что для чисел G, H и A справедливо неравенство H?G?A.

а) Пусть на каждом участке автомобилист ехал по $$t_1$$ часов. Тогда весь путь равен

$$S=at_1+bt_1=t_1(a+b),$$

а всё время движения:

$$t=2t_1.$$

Средняя скорость:

$$v_1=\frac{S}{t}=\frac{t_1(a+b)}{2t_1}=\frac{a+b}{2}.$$

б) Пусть на каждом участке он проехал по $$S_1$$ км. Тогда время движения равно

$$t=\frac{S_1}{a}+\frac{S_1}{b}=\frac{bS_1+aS_1}{ab}=\frac{S_1(a+b)}{ab}.$$

Весь путь:

$$S=2S_1.$$

Средняя скорость:

$$v_2=\frac{S}{t}=\frac{2S_1}{\frac{S_1(a+b)}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}.$$

в) Сравним:

$$v_1-v_2=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge 0.$$

Значит,

$$v_1\ge v_2,$$

и при $$a\ne b$$ имеем $$v_1>v_2$$.

г) Для положительных $$a$$ и $$b$$:

$$A=\frac{a+b}{2}, \qquad G=\sqrt{ab}, \qquad H=\frac{2ab}{a+b}.$$

Докажем неравенства.

1) $$H\le G$$:

$$\frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}$$

$$2ab\le (a+b)\sqrt{ab}$$

$$4a^2b^2\le (a+b)^2ab$$

$$4ab\le a^2+2ab+b^2$$

$$0\le (a-b)^2.$$

2) $$G\le A$$:

$$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$$

$$2\sqrt{ab}\le a+b$$

$$4ab\le (a+b)^2$$

$$0\le (a-b)^2.$$

Следовательно,

$$H\le G\le A.$$

Ответ

$$v_1=\frac{a+b}{2}, \qquad v_2=\frac{2ab}{a+b}, \qquad v_1\ge v_2,$$

$$H\le G\le A.$$