Упр.1077 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) Автомобилист ехал некоторое время со скоростью $$a$$ км/ч, потом точно такое же время со скоростью $$b$$ км/ч. Выразите через $$a$$ и $$b$$ среднюю скорость движения на всём пути (обозначьте её $$v_1$$).
б) Автомобилист проехал некоторое расстояние со скоростью $$a$$ км/ч, потом точно такое же расстояние со скоростью $$b$$ км/ч. Выразите через $$a$$ и $$b$$ среднюю скорость движения на всём пути (обозначьте её $$v_2$$).
в) Сравните $$v_1$$ и $$v_2$$.
г) Для положительных чисел $$a$$ и $$b$$ различают: среднее арифметическое чисел $$a$$ и $$b$$ — число $$A=\frac{a+b}{2}$$; среднее геометрическое чисел $$a$$ и $$b$$ — число $$G=\sqrt{ab}$$; среднее гармоническое чисел $$a$$ и $$b$$ — число $$H$$, такое, что $$\frac{1}{H}=\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}$$, откуда $$H=\frac{2ab}{a+b}$$. Докажите, что для чисел $$G$$, $$H$$ и $$A$$ справедливо неравенство $$H?G?A$$.
а) Пусть на каждом участке автомобилист ехал по $$t_1$$ часов. Тогда весь путь равен
$$S=at_1+bt_1=t_1(a+b),$$
а всё время движения:
$$t=2t_1.$$
Средняя скорость:
$$v_1=\frac{S}{t}=\frac{t_1(a+b)}{2t_1}=\frac{a+b}{2}.$$
б) Пусть на каждом участке он проехал по $$S_1$$ км. Тогда время движения равно
$$t=\frac{S_1}{a}+\frac{S_1}{b}=\frac{bS_1+aS_1}{ab}=\frac{S_1(a+b)}{ab}.$$
Весь путь:
$$S=2S_1.$$
Средняя скорость:
$$v_2=\frac{S}{t}=\frac{2S_1}{\frac{S_1(a+b)}{ab}}=\frac{2ab}{a+b}.$$
в) Сравним:
$$v_1-v_2=\frac{a+b}{2}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{(a+b)^2-4ab}{2(a+b)}=\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\ge 0.$$
Значит,
$$v_1\ge v_2,$$
и при $$a\ne b$$ имеем $$v_1>v_2$$.
г) Для положительных $$a$$ и $$b$$:
$$A=\frac{a+b}{2}, \qquad G=\sqrt{ab}, \qquad H=\frac{2ab}{a+b}.$$
Докажем неравенства.
1) $$H\le G$$:
$$\frac{2ab}{a+b}\le \sqrt{ab}$$
$$2ab\le (a+b)\sqrt{ab}$$
$$4a^2b^2\le (a+b)^2ab$$
$$4ab\le a^2+2ab+b^2$$
$$0\le (a-b)^2.$$
2) $$G\le A$$:
$$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$$
$$2\sqrt{ab}\le a+b$$
$$4ab\le (a+b)^2$$
$$0\le (a-b)^2.$$
Следовательно,
$$H\le G\le A.$$
Ответ
$$v_1=\frac{a+b}{2}, \qquad v_2=\frac{2ab}{a+b}, \qquad v_1\ge v_2,$$
$$H\le G\le A.$$
