Упр.1076 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) a > 0 и a=b, то a^k=b^k при любом натуральном k;
б) a > b > 0, то a^k > b^k при любом натуральном k.
Сформулируйте и докажите утверждения, обратные утверждениям «а» и «б».

а) Если $$a=b$$ и $$a>0,$$ то при любом натуральном $$k$$ можно возвести обе части равенства в степень $$k$$:

$$a=b$$
$$a^k=b^k.$$

Что и требовалось доказать.

б) Если $$a>b>0,$$ то, разделив обе части неравенства на положительное число $$b,$$ получим:

$$\frac{a}{b}>1.$$

Возведём обе части в степень $$k\in \mathbb{N}:$$

$$\left(\frac{a}{b}\right)^k>1^k,$$

откуда

$$\frac{a^k}{b^k}>1,$$

значит,

$$a^k>b^k.$$

Что и требовалось доказать.

Обратные утверждения:

1) Если $$a^k=b^k,$$ то $$a=b$$ и $$a>0$$ при $$k\in\mathbb{N}$$ — неверно.

Например, при $$a=-2,$$ $$b=2,$$ $$k=2$$ имеем:

$$(-2)^2=2^2,$$
$$4=4,$$

но $$-2\ne 2.$$

2) Если $$a^k>b^k,$$ то $$a>b>0$$ при $$k\in\mathbb{N}$$ — неверно.

Например, при $$a=-3,$$ $$b=2,$$ $$k=2$$ имеем:

$$(-3)^2>2^2,$$
$$9>4,$$

но $$-3<2.$$

Ответ

а) $$a=b,\ a>0 \Rightarrow a^k=b^k$$ при любом $$k\in\mathbb{N}.$$
б) $$a>b>0 \Rightarrow a^k>b^k$$ при любом $$k\in\mathbb{N}.$$
Обратные утверждения неверны.