Упр.1074 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) a^2+b^2?1/2 (a > 0, b > 0, a+b=1);
б) a^2+1 > (2a)/(a^2+1).

а) Так как $$a+b=1,$$ то $$b=1-a.$$ Тогда

$$ a^2+b^2-\frac12=a^2+(1-a)^2-\frac12 $$

$$ =a^2+1-2a+a^2-\frac12 =2a^2-2a+\frac12 =\frac12(4a^2-4a+1) =\frac{(2a-1)^2}{2}\ge 0. $$

Значит,

$$a^2+b^2\ge \frac12.$$

б) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$ a^2+1-\frac{2a}{a^2+1} =\frac{(a^2+1)^2-2a}{a^2+1}. $$

Так как $$a^2+1>0,$$ достаточно доказать, что

$$ (a^2+1)^2-2a>0. $$

Раскроем скобки:

$$ (a^2+1)^2-2a=a^4+2a^2+1-2a. $$

Сгруппируем:

$$ a^4+2a^2+1-2a=(a^2-1)^2+2(a-1)^2\ge 0. $$

При этом равенство невозможно, так как одновременно $$a^2-1=0$$ и $$a-1=0$$, то есть $$a=1,$$ а тогда

$$ a^4+2a^2+1-2a=1+2+1-2=2>0. $$

Следовательно,

$$ a^2+1>\frac{2a}{a^2+1}. $$

Ответ

а) $$a^2+b^2\ge \frac12.$$
б) $$a^2+1>\frac{2a}{a^2+1}.$$