Упр.1072 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Докажите неравенство (считая $$a$$, $$b$$, $$c$$ действительными числами): а) $$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$$ ($$a0$$); б) $$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$$ ($$a>b$$, $$ab<0$$).

а) Рассмотрим разность левой и правой частей:

$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=-\frac{a-b}{ab}.$$

Так как $$a\ge b$$, то $$a-b\ge 0$$. Кроме того, $$ab>0$$, значит знаменатель положителен. Тогда

$$-\frac{a-b}{ab}\le 0,$$

то есть

$$\frac{1}{a}\le \frac{1}{b}.$$

б) Аналогично:

$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{b-a}{ab}=\frac{a-b}{-ab}.$$

Так как $$a>b$$, то $$a-b>0$$, а из условия $$ab<0$$ следует, что $$-ab>0$$. Поэтому

$$\frac{a-b}{-ab}>0,$$

значит

$$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{a}\le \frac{1}{b}$$; б) $$\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$$.