Упр.1067 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

б) Могут ли одновременно быть справедливыми неравенства a?b и b?a?

1. а) Предположим, что неравенства $$a>b$$ и $$a<b$$ одновременно верны. Тогда

   $$a-b>0,\quad a-b<0.$$

   Перемножим эти неравенства:

   $$ (a-b)(a-b)<0, $$

   то есть

   $$ (a-b)^2<0. $$

   Но квадрат любого числа не может быть отрицательным. Противоречие.

   Значит, одновременно такие неравенства быть справедливы не могут.

2. б) Предположим, что неравенства $$a\le b$$ и $$b\le a$$ одновременно верны. Тогда

   $$a-b\le 0,\quad b-a\le 0.$$

   Перемножим:

   $$ (a-b)(b-a)\ge 0. $$

   Так как $$b-a=-(a-b),$$ получаем

   $$ -(a-b)^2\ge 0, $$

   откуда

   $$ (a-b)^2\le 0. $$

   Но квадрат числа неотрицателен, значит возможно только

   $$a-b=0,$$

   то есть

   $$a=b.$$

Ответ

а) Нет. б) Да, только при $$a=b$$.