Упр.1062 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) a/b+b/c+c/a?3 (a > 0, b > 0, c > 0);
б) (a^3+b^3)/2?((a+b)/2)^3 (a > 0, b > 0);
в) (a+b)^4?8a^4+8b^4;
г) (a+2)(b+2)(a+b)?16ab (a > 0, b > 0);
д) ab(a+b)?a^3+b^3 (a?0, b?0);
е) a^2+b^2+c^2 < 2(ab+bc+ac), если a, b и c — стороны некоторого треугольника.
а) Применим неравенство Коши:
$$\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}}{3}\ge \sqrt[3]{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}}=1.$$
Следовательно,
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3.$$
б) Раскроем куб суммы:
$$\frac{a^3+b^3}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^3$$
равносильно
$$4a^3+4b^3\ge a^3+3a^2b+3ab^2+b^3,$$
то есть
$$3a^3-3a^2b-3ab^2+3b^3\ge 0,$$
$$3(a-b)^2(a+b)\ge 0.$$
Это верно при $$a>0,\ b>0.$$
в) Проверим неравенство на конкретных значениях: пусть $$a=2,\ b=1.$$ Тогда
$$ (a+b)^4=3^4=81,$$
$$8a^4+8b^4=8\cdot 2^4+8\cdot 1^4=128+8=136.$$
Получаем $$81\ge 136,$$ что неверно. Значит, данное неравенство не выполняется.
г) По неравенству Коши:
$$\frac{a+2}{2}\ge \sqrt{2a},\qquad \frac{b+2}{2}\ge \sqrt{2b},\qquad \frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}.$$
Перемножим:
$$\frac{(a+2)(b+2)(a+b)}{8}\ge \sqrt{2a}\cdot \sqrt{2b}\cdot \sqrt{ab}=2ab.$$
Следовательно,
$$ (a+2)(b+2)(a+b)\ge 16ab.$$
д) Преобразуем правую часть:
$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
Тогда
$$a^3+b^3-ab(a+b)=(a+b)(a^2-ab+b^2)-ab(a+b)$$
$$=(a+b)(a^2-2ab+b^2)=(a+b)(a-b)^2\ge 0.$$
Значит,
$$ab(a+b)\le a^3+b^3.$$
е) Так как $$a,\ b,\ c$$ — стороны треугольника, то
$$a+b>c,\qquad a+c>b,\qquad b+c>a.$$
Отсюда
$$a>b-c,\qquad b>c-a,\qquad c>a-b.$$
Возведём в квадрат:
$$a^2>(b-c)^2,\qquad b^2>(c-a)^2,\qquad c^2>(a-b)^2.$$
Сложим:
$$a^2+b^2+c^2>(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2.$$
Раскроем скобки:
$$a^2+b^2+c^2>2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac).$$
Переносим:
$$a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac).$$
Ответ
а) $$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge 3$$; б) $$\frac{a^3+b^3}{2}\ge \left(\frac{a+b}{2}\right)^3$$; в) неравенство неверно; г) $$ (a+2)(b+2)(a+b)\ge 16ab$$; д) $$ab(a+b)\le a^3+b^3$$; е) $$a^2+b^2+c^2<2(ab+bc+ac)$$.
