Упр.1061 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите неравенство:

1. $$m+\frac{9}{m}\ge 6$$ ($$m>0$$);
2. $$x-1\le\frac{x^2}{4}$$;
3. $$n!\le\left(\frac{n+1}{2}\right)^n$$ ($$n\in\mathbb{N}$$).

1. а) Рассмотрим разность левой и правой частей:

   $$m+\frac{9}{m}-6=\frac{m^2-6m+9}{m}=\frac{(m-3)^2}{m}\ge 0,\quad m>0.$$

   Значит, $$m+\frac{9}{m}\ge 6.$$

2. б) Рассмотрим разность левой и правой частей:

   $$x-1-\frac{x^2}{4}=-\frac{1}{4}(x^2-4x+4)=-\frac{(x-2)^2}{4}\le 0.$$

   Следовательно, $$x-1\le \frac{x^2}{4}.$$

3. в) Докажем неравенство $$n!\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^n,\quad n\in \mathbb{N}.$$

   При $$n=1$$ имеем:

   $$1!\le \left(\frac{1+1}{2}\right)^1,$$

   то есть $$1\le 1.$$

   Пусть для некоторого $$n$$ верно $$n!\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^n.$$ Докажем для $$n+1$$:

   $$(n+1)!=(n+1)n!\le (n+1)\left(\frac{n+1}{2}\right)^n.$$

   Осталось показать, что

   $$(n+1)\left(\frac{n+1}{2}\right)^n\le \left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}.$$

   Это равносильно неравенству

   $$2(n+1)\le \frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^n}.$$

   Удобнее записать так:

   $$\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\ge 2.$$

   Так как $$\frac{n+2}{n+1}=1+\frac{1}{n+1}\ge 1,$$ то по биному Ньютона

   $$\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}\ge 1+(n+1)\cdot \frac{1}{n+1}=2.$$

   Значит, $$\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}\ge 2,$$ и потому

   $$(n+1)!\le \left(\frac{n+2}{2}\right)^{n+1}.$$

   Следовательно, неравенство верно для всех $$n\in \mathbb{N}.$$

Ответ

а) $$m+\frac{9}{m}\ge 6,\quad m>0.$$
б) $$x-1\le \frac{x^2}{4}.$$
в) $$n!\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^n,\quad n\in \mathbb{N}.$$