Упр.1060 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) a+b?2v(ab) (a?0, b?0); б) a+4/a?4 (a > 0);
в) a+9/a?4 (a < 0); г) 4a+1/a?4 (a > 0);
д) 9a+4/a?12 (a > 0); е) 25a+16/a?40 (a > 0).
а) При $$a \ge 0,\ b \ge 0$$ рассмотрим разность:
$$a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt a-\sqrt b)^2 \ge 0.$$
Значит, $$a+b \ge 2\sqrt{ab}.$$
б) При $$a>0$$:
$$a+\frac{4}{a}-4=\frac{a^2-4a+4}{a}=\frac{(a-2)^2}{a}\ge 0.$$
Следовательно, $$a+\frac{4}{a}\ge 4.$$
в) При $$a<0$$:
$$a+\frac{9}{a}-4=\frac{a^2-4a+9}{a}=\frac{(a-2)^2+5}{a}.$$
Числитель положителен, а знаменатель отрицателен, значит
$$a+\frac{9}{a}-4<0,$$
то есть $$a+\frac{9}{a}<4.$$
г) При $$a>0$$:
$$4a+\frac{1}{a}-4=\frac{4a^2-4a+1}{a}=\frac{(2a-1)^2}{a}\ge 0.$$
Следовательно, $$4a+\frac{1}{a}\ge 4.$$
д) При $$a>0$$:
$$9a+\frac{4}{a}-12=\frac{9a^2-12a+4}{a}=\frac{(3a-2)^2}{a}\ge 0.$$
Значит, $$9a+\frac{4}{a}\ge 12.$$
е) При $$a>0$$:
$$25a+\frac{16}{a}-40=\frac{25a^2-40a+16}{a}=\frac{(5a-4)^2}{a}\ge 0.$$
Следовательно, $$25a+\frac{16}{a}\ge 40.$$
Ответ
а) $$a+b\ge 2\sqrt{ab}$$; б) $$a+\frac{4}{a}\ge 4$$; в) $$a+\frac{9}{a}<4$$; г) $$4a+\frac{1}{a}\ge 4$$; д) $$9a+\frac{4}{a}\ge 12$$; е) $$25a+\frac{16}{a}\ge 40$$.
