Упр.1059 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) y={(x^2-4x+6, если x?2, 3x, если x < 2); б) y={(-3/x, если x?-1, 2-x, если x > -1).
При каких значениях m прямая y=m пересекает построенный график в двух точках?

Подробный ответ

а) Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} x^2-4x+6, & x\ge 2,\\ 3x, & x<2. \end{cases} $$

Для ветви $$y=x^2-4x+6$$ имеем параболу, ветви направлены вверх. Вершина:

$$ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 1}=2,\qquad y_0=2^2-4\cdot 2+6=2. $$

Значит, при $$x\ge 2$$ берём правую часть параболы, начиная с точки $$\left(2;2\right)$$.

Для ветви $$y=3x$$ строим прямую. При $$x=2$$ получаем $$y=6$$, но точка $$\left(2;6\right)$$ не входит в график, так как здесь условие $$x<2$$, поэтому она отмечается пустой точкой.

Прямая $$y=m$$ пересекает график в двух точках, если она пересекает обе ветви: прямую $$y=3x$$ при $$x<2$$ и параболу $$y=x^2-4x+6$$ при $$x\ge 2$$. Это происходит при

$$ m\in[2;6). $$

б) Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} -\dfrac{3}{x}, & x\le -1,\\ 2-x, & x>-1. \end{cases} $$

Для ветви $$y=-\dfrac{3}{x}$$ строим гиперболу. При $$x=-1$$ получаем $$y=3$$, значит точка $$\left(-1;3\right)$$ входит в график.

Для ветви $$y=2-x$$ строим прямую. При $$x=-1$$ получаем $$y=3$$, но здесь условие $$x>-1$$, поэтому точка $$\left(-1;3\right)$$ принадлежит только первой ветви.

Прямая $$y=m$$ имеет с графиком две общие точки, если она пересекает обе ветви. Это выполняется при

$$ m\in(0;3). $$