Упр.1050 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) при m < 0 имеет два действительных корня разных знаков, причём абсолютная величина отрицательного корня больше абсолютной величины положительного корня; б) при 0 < m < 1 1/8 имеет два различных отрицательных корня; в) при m > 1 1/8 не имеет действительных корней.

Подробный ответ

Рассмотрим уравнение

$$2x^2+3x+m=0.$$

Перепишем его в виде

$$2x^2+3x=-m.$$

Построим график функции

$$y=2x^2+3x.$$

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдём её вершину:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot 2}=-\frac34,$$

$$y_0=2\left(-\frac34\right)^2+3\left(-\frac34\right)=\frac98-\frac94=-\frac98=-1\frac18.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$-\frac98.$$

Решения уравнения — это абсциссы точек пересечения параболы $$y=2x^2+3x$$ с прямой $$y=-m.$$

а) Если $$m<0,$$ то $$-m>0.$$ Прямая $$y=-m$$ расположена выше оси $$Ox$$, поэтому пересекает параболу в двух точках. Так как свободный член уравнения равен $$m<0,$$ произведение корней

$$x_1x_2=\frac{m}{2}<0,$$

следовательно, корни разных знаков. Кроме того,

$$x_1+x_2=-\frac32<0,$$

значит, отрицательный корень по модулю больше положительного:

$$|x_-|>|x_+|.$$

б) Если

$$0<m<1\frac18=\frac98,$$

то $$-m$$ удовлетворяет неравенству

$$-\frac98<-m<0.$$

Прямая $$y=-m$$ проходит выше вершины параболы, но ниже оси $$Ox$$, поэтому пересекает её в двух точках. Оба корня отрицательны, так как при $$x\ge 0$$ имеем

$$2x^2+3x\ge 0,$$

а равенство $$2x^2+3x=-m<0$$ возможно только при $$x<0.$$

в) Если

$$m>1\frac18=\frac98,$$

то

$$-m<-\frac98.$$

Прямая $$y=-m$$ лежит ниже вершины параболы, а значит, не пересекает график $$y=2x^2+3x.$$ Следовательно, действительных корней нет.