Упр.1049 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) при любом t < 0 имеет два действительных корня разных знаков, при этом абсолютная величина положительного корня больше абсолютной величины отрицательного корня; б) при любом 0 < t < 1 имеет два различных положительных корня; в) при любом t > 1 не имеет действительных корней.

Рассмотрим уравнение

$$x^2-2x+t=0.$$

Перепишем его в виде

$$x^2-2x=-t.$$

Построим график функции $$y=x^2-2x.$$ Это парабола, ветви которой направлены вверх. Её вершина:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1,$$

$$y_0=1^2-2\cdot 1=-1.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$-1$$, а график проходит через точки $$(-1,3)$$ и $$ (0,0).$$

Решения уравнения — это абсциссы точек пересечения параболы $$y=x^2-2x$$ с прямой $$y=-t.$$

а) Если $$t<0,$$ то $$-t>0.$$ Прямая $$y=-t$$ расположена выше оси $$Ox$$, поэтому пересекает параболу в двух точках. Так как произведение корней равно $$t<0,$$ корни разных знаков. Кроме того, сумма корней равна $$2>0,$$ значит положительный корень больше по модулю, чем отрицательный.

б) Если $$0<t<1,$$ то $$-1<-t<0.$$ Прямая $$y=-t$$ проходит между уровнями $$y=-1$$ и $$y=0,$$ поэтому пересекает параболу в двух различных точках, обе абсциссы которых положительны.

в) Если $$t>1,$$ то $$-t<-1.$$ Прямая $$y=-t$$ лежит ниже вершины параболы, а значит не пересекает её. Следовательно, действительных корней нет.

Ответ

а) При любом $$t<0$$ уравнение имеет два действительных корня разных знаков, причём $$|x_+|>|x_-|$$.

б) При любом $$0<t<1$$ уравнение имеет два различных положительных корня.

в) При любом $$t>1$$ уравнение не имеет действительных корней.