Упр.1046 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Докажите, что функция $$y=-x^3$$ является убывающей.

Рассмотрим любые числа $$x_1$$ и $$x_2$$ такие, что $$x_1<x_2$$. Тогда

$$x_2-x_1>0.$$

Найдём разность значений функции:

$$y(x_1)-y(x_2)=(-x_1^3)-(-x_2^3)=x_2^3-x_1^3.$$

Разложим разность кубов:

$$x_2^3-x_1^3=(x_2-x_1)(x_2^2+x_1x_2+x_1^2).$$

Так как $$x_2-x_1>0$$, а

$$x_2^2+x_1x_2+x_1^2>0,$$

то

$$y(x_1)-y(x_2)>0.$$

Следовательно, $$y(x_1)>y(x_2)$$ при $$x_1<x_2$$, значит функция $$y=-x^3$$ убывает на всей числовой прямой.

Ответ

Функция $$y=-x^3$$ является убывающей на $$(-\infty;+\infty)$$.