Упр.1038 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1038. На рисунке 93 изображены парабола y=ax^2+bx+c и параллельные прямые m и l, пересекающие параболу в точках A и B, C и D соответственно. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков AB и CD, параллельна оси Oy.

Подробный ответ

Пусть прямая m имеет уравнение $$y=kx+t_1,$$ а прямая l — уравнение $$y=kx+t_2.$$

Найдём абсциссу середины отрезка $$AB.$$ Точки $$A$$ и $$B$$ — точки пересечения параболы $$y=ax^2+bx+c$$ с прямой $$m,$$ значит их абсциссы являются корнями уравнения

$$ax^2+bx+c=kx+t_1,$$

то есть

$$ax^2+(b-k)x+(c-t_1)=0.$$

Сумма корней этого уравнения равна $$-\dfrac{b-k}{a}=\dfrac{k-b}{a},$$ поэтому абсцисса середины отрезка $$AB$$ равна

$$x_{AB}=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{k-b}{a}=\frac{k-b}{2a}.$$

Аналогично для отрезка $$CD$$ получаем уравнение

$$ax^2+bx+c=kx+t_2,$$

или

$$ax^2+(b-k)x+(c-t_2)=0.$$

Тогда абсцисса середины отрезка $$CD$$ равна

$$x_{CD}=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{k-b}{a}=\frac{k-b}{2a}.$$

Следовательно, середины отрезков $$AB$$ и $$CD$$ имеют одинаковую абсциссу. Значит, прямая, проходящая через эти точки, вертикальна, то есть параллельна оси $$Oy.$$