Упр.1037 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения функции:
   а) $$y=\frac{1}{x-5}$$;
   б) $$y=\frac{x}{x+6}-\frac{3x}{3-7x}$$;
   в) $$y=\sqrt{4-3x}+\frac{1}{2x}$$;
   г) $$y=\frac{x-5}{3x-1}+\sqrt{5-x}$$;
   д) $$y=\sqrt{2x-3}$$;
   е) $$y=\sqrt{3x+5}$$;
   ж) $$y=\sqrt{x^2-1}$$;
   з) $$y=\sqrt{x^2+5}$$.

1. а) Для дроби знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$x-5\ne 0,$$

   $$x\ne 5.$$

   Значит,

   $$D(y)=(-\infty;5)\cup(5;+\infty).$$

2. б) Найдём ограничения для обеих дробей:

   $$x+6\ne 0,\quad 3-7x\ne 0,$$

   $$x\ne -6,\quad x\ne \frac{3}{7}.$$

   Тогда

   $$D(y)=(-\infty;-6)\cup(-6;\tfrac{3}{7})\cup(\tfrac{3}{7};+\infty).$$

3. в) Для корня и дроби должны выполняться условия:

   $$4-3x\ge 0,\quad 2x\ne 0.$$

   Отсюда

   $$x\le \frac{4}{3},\quad x\ne 0.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;\tfrac{4}{3}].$$

4. г) Для дроби и корня:

   $$3x-1\ne 0,\quad 5-x\ge 0.$$

   Получаем

   $$x\ne \frac{1}{3},\quad x\le 5.$$

   Значит,

   $$D(y)=(-\infty;\tfrac{1}{3})\cup(\tfrac{1}{3};5].$$

5. д) Подкоренное выражение неотрицательно:

   $$2x-3\ge 0,$$

   $$x\ge \frac{3}{2}.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=[\tfrac{3}{2};+\infty).$$

6. е) Подкоренное выражение неотрицательно:

   $$3x+5\ge 0,$$

   $$x\ge -\frac{5}{3}.$$

   Тогда

   $$D(y)=[-\tfrac{5}{3};+\infty).$$

7. ж) Для корня:

   $$x^2-1\ge 0,$$

   $$x^2\ge 1,$$

   $$x\le -1 \text{ или } x\ge 1.$$

   Значит,

   $$D(y)=(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$

8. з) Так как

   $$x^2+5>0$$

   при любом $$x$$, то корень определён для всех действительных чисел.

   Следовательно,

   $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;5)\cup(5;+\infty)$$; б) $$(-\infty;-6)\cup(-6;\tfrac{3}{7})\cup(\tfrac{3}{7};+\infty)$$; в) $$(-\infty;0)\cup(0;\tfrac{4}{3}]$$; г) $$(-\infty;\tfrac{1}{3})\cup(\tfrac{1}{3};5]$$; д) $$[\tfrac{3}{2};+\infty)$$; е) $$[-\tfrac{5}{3};+\infty)$$; ж) $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$; з) $$(-\infty;+\infty).$$