Упр.1033 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Никольский, Потапов 9 класс, Просвещение: 1033. Изобразите все точки координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству (|x|-1)^2+(y-1)^2?1 или системе неравенств {((|x|-1)^2+(|y|-1)^2?1, |x|+|y|?1).

1) Рассмотрим неравенство $$\left(|x|-1\right)^2+(y-1)^2\le 1.$$

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем

$$ (x-1)^2+(y-1)^2\le 1. $$

Это круг с центром $$ (1,1) $$ и радиусом $$1.$$

При $$x\le 0$$ множество симметрично относительно оси $$Oy,$$ поэтому получаем ещё один такой же круг с центром $$(-1,1).$$

Итак, решение первого неравенства — объединение двух равных кругов, симметричных относительно оси $$Oy.$$

2) Рассмотрим систему

$$ \begin{cases} \left(|x|-1\right)^2+\left(|y|-1\right)^2\ge 1,\\ |x|+|y|\le 1. \end{cases} $$

Если $$x\ge 0$$ и $$y\ge 0,$$ то система принимает вид

$$ \begin{cases} (x-1)^2+(y-1)^2\ge 1,\\ x+y\le 1. \end{cases} $$

В первой четверти это часть треугольника $$x+y\le 1,$$ лежащая вне круга с центром $$ (1,1) $$ и радиусом $$1.$$

Так как в условиях стоят модули, полученное множество симметрично относительно обеих осей координат. Значит, искомая область состоит из четырёх одинаковых частей, расположенных во всех четвертях.

3) Общее множество точек для системы — пересечение области $$|x|+|y|\le 1$$ с областью вне фигуры, заданной неравенством $$\left(|x|-1\right)^2+\left(|y|-1\right)^2\ge 1.$$

Ответ

1) Объединение двух кругов радиуса $$1$$ с центрами $$(-1,1)$$ и $$ (1,1).$$

2) Четыре симметричные относительно осей координат области, получающиеся из части треугольника $$x+y\le 1$$ во всех четвертях и лежащие вне соответствующих круговых дуг.

3) Искомое множество — область, изображённая на рисунке для пункта 3.