Упр.1019 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

При каком значении $$a$$ сумма квадратов чисел, составляющих решение системы уравнений $$\begin{cases} x-2y=a, \\ 2x-y=a+1 \end{cases}$$, будет наименьшей?

Из первого уравнения системы

$$x-2y=a \quad \Rightarrow \quad x=a+2y.$$

Подставим это во второе уравнение:

$$2x-y=a+1,$$

$$2(a+2y)-y=a+1,$$

$$2a+4y-y=a+1,$$

$$3y=1-a,$$

$$y=\frac{1-a}{3}.$$

Тогда

$$x=a+2\cdot \frac{1-a}{3}=\frac{3a+2-2a}{3}=\frac{a+2}{3}.$$

Найдём сумму квадратов:

$$x^2+y^2=\left(\frac{a+2}{3}\right)^2+\left(\frac{1-a}{3}\right)^2.$$

Приведём подобные:

$$x^2+y^2=\frac{(a+2)^2+(1-a)^2}{9}=\frac{a^2+4a+4+a^2-2a+1}{9}=\frac{2a^2+2a+5}{9}.$$

Это квадратичная функция от $$a$$ с ветвями вверх, значит минимум достигается в вершине параболы:

$$a=-\frac{2}{2\cdot 2}=-\frac12.$$

Ответ

$$a=-\frac12.$$