Упр.1017 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
а) {((x-5)(x+y)=-20, (y-8)(x+y)=-10);
б) {(x+3y-6)y-2x=0, (2x+y-12)y-2x=0);
в) {((x+10)(y-12)=0, (y^2-160)/(y-2x)=0,2x);
г) {(xy+5(x-y)=7, x^2+y^2+5(x-y)=10);
д) {(x^2+y^2+x-y=44, y/2-2/x=1-y/x);
е) {(x+y=xy, xy=x^2+y^2);
ж) {(2x^2-4xy+3y^2=36, 3x^2-4xy+2y^2=36);
з) {(2x^2-3xy+3y^2=128, 3x^2-3xy+2y^2=128).
а)
$$\begin{cases} (x-5)(x+y)=-20,\\ (y-8)(x+y)=-10. \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$2$$:
$$\begin{cases} (x-5)(x+y)=-20,\\ (2y-16)(x+y)=-20. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$\bigl(x-5-2y+16\bigr)(x+y)=0,$$
$$ (x-2y+11)(x+y)=0. $$1) $$x-2y+11=0,$$ тогда $$x=2y-11.$$ Подставим во второе уравнение:
$$ (y-8)(2y-11+y)=-10, $$
$$ (y-8)(3y-11)=-10, $$
$$ 3y^2-35y+98=0. $$
$$ D=35^2-4\cdot 3\cdot 98=49, $$
$$ y_1=\frac{35-7}{6}=\frac{14}{3},\quad y_2=\frac{35+7}{6}=7. $$
Тогда
$$ x_1=2\cdot \frac{14}{3}-11=-\frac{5}{3},\quad x_2=2\cdot 7-11=3. $$2) $$x+y=0,$$ то есть $$x=-y.$$ Тогда из второго уравнения получаем противоречие:
$$ (y-8)\cdot 0=-10, $$
что невозможно. Значит, решений здесь нет.
б)
$$\begin{cases} (x+3y-6)y-2x=0,\\ (2x+y-12)y-2x=0. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ (2x+y-12)y-(x+3y-6)y=0, $$
$$ y(2x+y-12-x-3y+6)=0, $$
$$ y(x-2y-6)=0. $$1) $$y=0.$$ Тогда $$-2x=0,$$ значит $$x=0.$$ Получаем решение $$ (0;0). $$
2) $$x-2y-6=0,$$ то есть $$x=2y+6.$$ Подставим в первое уравнение:
$$ (2y+6+3y-6)y-2(2y+6)=0, $$
$$ 5y^2-4y-12=0. $$
$$ D=4^2+4\cdot 5\cdot 12=256, $$
$$ y_1=\frac{4-16}{10}=-\frac65,\quad y_2=\frac{4+16}{10}=2. $$
Тогда
$$ x_1=2\cdot\left(-\frac65\right)+6=\frac{18}{5},\quad x_2=2\cdot 2+6=10. $$в)
$$\begin{cases} (x+10)(y-12)=0,\\ \dfrac{y^2-160}{y-2x}=0{,}2x. \end{cases}$$
1) $$x+10=0,$$ то есть $$x=-10.$$ Тогда
$$ \frac{y^2-160}{y+20}=-2, $$
$$ y^2-160=-2(y+20), $$
$$ y^2+2y-120=0. $$
$$ D=4+480=484, $$
$$ y_1=\frac{-2-22}{2}=-12,\quad y_2=\frac{-2+22}{2}=10. $$Получаем решения $$(-10;-12)$$ и $$(-10;10).$$
2) $$y-12=0,$$ то есть $$y=12.$$ Тогда
$$ \frac{144-160}{12-2x}=0{,}2x, $$
$$ -16=0{,}2x(12-2x), $$
$$ 2x^2-12x-80=0, $$
$$ x^2-6x-40=0. $$
$$ D=36+160=196, $$
$$ x_1=\frac{6-14}{2}=-4,\quad x_2=\frac{6+14}{2}=10. $$Получаем решения $$(-4;12)$$ и $$(10;12).$$
г)
$$\begin{cases} xy+5(x-y)=7,\\ x^2+y^2+5(x-y)=10. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ x^2-xy+y^2=3. $$
Обозначим $$u=x-y.$$ Тогда
$$ x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy=u^2+xy=3, $$
значит
$$ xy=3-u^2. $$Из первого уравнения:
$$ xy+5u=7, $$
$$ 3-u^2+5u=7, $$
$$ u^2-5u+4=0. $$
$$ D=25-16=9, $$
$$ u_1=1,\quad u_2=4. $$1) $$x-y=1.$$ Тогда $$y=x-1.$$ Подставим в $$xy+5(x-y)=7$$:
$$ x(x-1)+5=7, $$
$$ x^2-x-2=0, $$
$$ x=-1 \text{ или } x=2. $$
Тогда $$ y=-2 \text{ или } y=1. $$2) $$x-y=4.$$ Тогда $$y=x-4.$$ Подставим:
$$ x(x-4)+20=7, $$
$$ x^2-4x+13=0. $$
$$ D=16-52=-36<0, $$ значит решений нет.д)
$$\begin{cases} x^2+y^2+x-y=44,\\ \dfrac{y}{2}-\dfrac{2}{x}=1-\dfrac{y}{x}. \end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$2x$$:
$$ xy-4=2x-2y, $$
$$ xy=2(x-y)+4. $$
Обозначим $$u=x-y.$$ Тогда первое уравнение перепишем так:
$$ x^2-2xy+y^2+2xy+(x-y)=44, $$
$$ u^2+2xy+u=44. $$
Подставим $$xy=2u+4$$:
$$ u^2+4u+8+u=44, $$
$$ u^2+5u-36=0. $$
$$ D=25+144=169, $$
$$ u_1=-9,\quad u_2=4. $$1) $$x-y=-9,$$ то есть $$x=y-9.$$ Тогда
$$ y(y-9)=2(-9)+4=-14, $$
$$ y^2-9y+14=0, $$
$$ y=2 \text{ или } y=7. $$
Тогда $$ x=-7 \text{ или } x=-2. $$2) $$x-y=4,$$ то есть $$x=y+4.$$ Тогда
$$ y(y+4)=2\cdot 4+4=12, $$
$$ y^2+4y-12=0, $$
$$ y=-6 \text{ или } y=2. $$
Тогда $$ x=-2 \text{ или } x=6. $$е)
$$\begin{cases} x+y=xy,\\ xy=x^2+y^2. \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$ xy=x^2+y^2. $$
Подставим в первое:
$$ x+y=x^2+y^2. $$
Тогда
$$ x^2-xy+y^2=0. $$
Но из первого уравнения $$xy=x+y,$$ значит
$$ x^2-x-y+y^2=0. $$
Удобнее сложить уравнения:
$$ x+y=xy,\quad xy=x^2+y^2. $$
Тогда
$$ x+y=x^2+y^2. $$
Перенесём всё в одну сторону:
$$ x^2-x+y^2-y=0, $$
$$ (x^2-x)+(y^2-y)=0. $$
Проверка даёт единственное решение $$x=0,\ y=0.$$ж)
$$\begin{cases} 2x^2-4xy+3y^2=36,\\ 3x^2-4xy+2y^2=36. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ x^2-y^2=0, $$
$$ (x-y)(x+y)=0. $$1) $$x=y.$$ Тогда
$$ 2x^2-4x^2+3x^2=36, $$
$$ x^2=36, $$
$$ x=\pm 6,\quad y=\pm 6. $$2) $$x=-y.$$ Тогда
$$ 2x^2+4x^2+3x^2=36, $$
$$ 9x^2=36, $$
$$ x=\pm 2,\quad y=\mp 2. $$з)
$$\begin{cases} 2x^2-3xy+3y^2=128,\\ 3x^2-3xy+2y^2=128. \end{cases}$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ x^2-y^2=0, $$
$$ (x-y)(x+y)=0. $$1) $$x=y.$$ Тогда
$$ 2x^2-3x^2+3x^2=128, $$
$$ 2x^2=128, $$
$$ x^2=64, $$
$$ x=\pm 8,\quad y=\pm 8. $$2) $$x=-y.$$ Тогда
$$ 2x^2+3x^2+3x^2=128, $$
$$ 8x^2=128, $$
$$ x^2=16, $$
$$ x=\pm 4,\quad y=\mp 4. $$
Ответ
а) $$\left(-\frac53;\frac{14}{3}\right),\ (3;7)$$;
б) $$(0;0),\ \left(\frac{18}{5};-\frac65\right),\ (10;2)$$;
в) $$(-10;-12),\ (-10;10),\ (-4;12),\ (10;12)$$;
г) $$(-1;-2),\ (2;1)$$;
д) $$(-7;2),\ (-2;7),\ (-2;-6),\ (6;2)$$;
е) $$(0;0)$$;
ж) $$(-6;-6),\ (6;6),\ (-2;2),\ (2;-2)$$;
з) $$(-8;-8),\ (8;8),\ (-4;4),\ (4;-4)$$.
