Упр.1017 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. а)

   $$\begin{cases} (x-5)(x+y)=-20,\\ (y-8)(x+y)=-10. \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$2$$:
   $$\begin{cases} (x-5)(x+y)=-20,\\ (2y-16)(x+y)=-20. \end{cases}$$
   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$\bigl(x-5-2y+16\bigr)(x+y)=0,$$
   $$(x-2y+11)(x+y)=0.$$

   1) $$x-2y+11=0,$$ тогда $$x=2y-11.$$ Подставим во второе уравнение:

   $$(y-8)(2y-11+y)=-10,$$
   $$(y-8)(3y-11)=-10,$$
   $$3y^2-35y+98=0.$$
   $$D=35^2-4\cdot 3\cdot 98=49,$$
   $$y_1=\frac{35-7}{6}=\frac{14}{3},\quad y_2=\frac{35+7}{6}=7.$$
   Тогда
   $$x_1=2\cdot \frac{14}{3}-11=-\frac{5}{3},\quad x_2=2\cdot 7-11=3.$$

   2) $$x+y=0,$$ то есть $$x=-y.$$ Тогда из второго уравнения получаем противоречие:

   $$(y-8)\cdot 0=-10,$$

   что невозможно. Значит, решений здесь нет.

2. б)

   $$\begin{cases} (x+3y-6)y-2x=0,\\ (2x+y-12)y-2x=0. \end{cases}$$
   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$(2x+y-12)y-(x+3y-6)y=0,$$
   $$y(2x+y-12-x-3y+6)=0,$$
   $$y(x-2y-6)=0.$$

   1) $$y=0.$$ Тогда $$-2x=0,$$ значит $$x=0.$$ Получаем решение $$(0;0).$$

   2) $$x-2y-6=0,$$ то есть $$x=2y+6.$$ Подставим в первое уравнение:

   $$(2y+6+3y-6)y-2(2y+6)=0,$$
   $$5y^2-4y-12=0.$$
   $$D=4^2+4\cdot 5\cdot 12=256,$$
   $$y_1=\frac{4-16}{10}=-\frac65,\quad y_2=\frac{4+16}{10}=2.$$
   Тогда
   $$x_1=2\cdot\left(-\frac65\right)+6=\frac{18}{5},\quad x_2=2\cdot 2+6=10.$$

3. в)

   $$\begin{cases} (x+10)(y-12)=0,\\ \dfrac{y^2-160}{y-2x}=0{,}2x. \end{cases}$$

   1) $$x+10=0,$$ то есть $$x=-10.$$ Тогда

   $$\frac{y^2-160}{y+20}=-2,$$
   $$y^2-160=-2(y+20),$$
   $$y^2+2y-120=0.$$
   $$D=4+480=484,$$
   $$y_1=\frac{-2-22}{2}=-12,\quad y_2=\frac{-2+22}{2}=10.$$

   Получаем решения $$(-10;-12)$$ и $$(-10;10).$$

   2) $$y-12=0,$$ то есть $$y=12.$$ Тогда

   $$\frac{144-160}{12-2x}=0{,}2x,$$
   $$-16=0{,}2x(12-2x),$$
   $$2x^2-12x-80=0,$$
   $$x^2-6x-40=0.$$
   $$D=36+160=196,$$
   $$x_1=\frac{6-14}{2}=-4,\quad x_2=\frac{6+14}{2}=10.$$

   Получаем решения $$(-4;12)$$ и $$(10;12).$$

4. г)

   $$\begin{cases} xy+5(x-y)=7,\\ x^2+y^2+5(x-y)=10. \end{cases}$$
   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$x^2-xy+y^2=3.$$
   Обозначим $$u=x-y.$$ Тогда
   $$x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy=u^2+xy=3,$$
   значит
   $$xy=3-u^2.$$

   Из первого уравнения:

   $$xy+5u=7,$$
   $$3-u^2+5u=7,$$
   $$u^2-5u+4=0.$$
   $$D=25-16=9,$$
   $$u_1=1,\quad u_2=4.$$

   1) $$x-y=1.$$ Тогда $$y=x-1.$$ Подставим в $$xy+5(x-y)=7$$:

   $$x(x-1)+5=7,$$
   $$x^2-x-2=0,$$
   $$x=-1 \text{ или } x=2.$$
   Тогда $$y=-2 \text{ или } y=1.$$

   2) $$x-y=4.$$ Тогда $$y=x-4.$$ Подставим:

   $$x(x-4)+20=7,$$
   $$x^2-4x+13=0.$$
   $$D=16-52=-36<0,$$ значит решений нет.

5. д)

   $$\begin{cases} x^2+y^2+x-y=44,\\ \dfrac{y}{2}-\dfrac{2}{x}=1-\dfrac{y}{x}. \end{cases}$$
   Умножим второе уравнение на $$2x$$:
   $$xy-4=2x-2y,$$
   $$xy=2(x-y)+4.$$
   Обозначим $$u=x-y.$$ Тогда первое уравнение перепишем так:
   $$x^2-2xy+y^2+2xy+(x-y)=44,$$
   $$u^2+2xy+u=44.$$
   Подставим $$xy=2u+4$$:
   $$u^2+4u+8+u=44,$$
   $$u^2+5u-36=0.$$
   $$D=25+144=169,$$
   $$u_1=-9,\quad u_2=4.$$

   1) $$x-y=-9,$$ то есть $$x=y-9.$$ Тогда

   $$y(y-9)=2(-9)+4=-14,$$
   $$y^2-9y+14=0,$$
   $$y=2 \text{ или } y=7.$$
   Тогда $$x=-7 \text{ или } x=-2.$$

   2) $$x-y=4,$$ то есть $$x=y+4.$$ Тогда

   $$y(y+4)=2\cdot 4+4=12,$$
   $$y^2+4y-12=0,$$
   $$y=-6 \text{ или } y=2.$$
   Тогда $$x=-2 \text{ или } x=6.$$

6. е)

   $$\begin{cases} x+y=xy,\\ xy=x^2+y^2. \end{cases}$$
   Из второго уравнения:
   $$xy=x^2+y^2.$$
   Подставим в первое:
   $$x+y=x^2+y^2.$$
   Тогда
   $$x^2-xy+y^2=0.$$
   Но из первого уравнения $$xy=x+y,$$ значит
   $$x^2-x-y+y^2=0.$$
   Удобнее сложить уравнения:
   $$x+y=xy,\quad xy=x^2+y^2.$$
   Тогда
   $$x+y=x^2+y^2.$$
   Перенесём всё в одну сторону:
   $$x^2-x+y^2-y=0,$$
   $$(x^2-x)+(y^2-y)=0.$$
   Проверка даёт единственное решение $$x=0,\ y=0.$$

7. ж)

   $$\begin{cases} 2x^2-4xy+3y^2=36,\\ 3x^2-4xy+2y^2=36. \end{cases}$$
   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$x^2-y^2=0,$$
   $$(x-y)(x+y)=0.$$

   1) $$x=y.$$ Тогда

   $$2x^2-4x^2+3x^2=36,$$
   $$x^2=36,$$
   $$x=\pm 6,\quad y=\pm 6.$$

   2) $$x=-y.$$ Тогда

   $$2x^2+4x^2+3x^2=36,$$
   $$9x^2=36,$$
   $$x=\pm 2,\quad y=\mp 2.$$

8. з)

   $$\begin{cases} 2x^2-3xy+3y^2=128,\\ 3x^2-3xy+2y^2=128. \end{cases}$$
   Вычтем первое уравнение из второго:
   $$x^2-y^2=0,$$
   $$(x-y)(x+y)=0.$$

   1) $$x=y.$$ Тогда

   $$2x^2-3x^2+3x^2=128,$$
   $$2x^2=128,$$
   $$x^2=64,$$
   $$x=\pm 8,\quad y=\pm 8.$$

   2) $$x=-y.$$ Тогда

   $$2x^2+3x^2+3x^2=128,$$
   $$8x^2=128,$$
   $$x^2=16,$$
   $$x=\pm 4,\quad y=\mp 4.$$

Ответ

а) $$\left(-\frac53;\frac{14}{3}\right),\ (3;7)$$;
б) $$(0;0),\ \left(\frac{18}{5};-\frac65\right),\ (10;2)$$;
в) $$(-10;-12),\ (-10;10),\ (-4;12),\ (10;12)$$;
г) $$(-1;-2),\ (2;1)$$;
д) $$(-7;2),\ (-2;7),\ (-2;-6),\ (6;2)$$;
е) $$(0;0)$$;
ж) $$(-6;-6),\ (6;6),\ (-2;2),\ (2;-2)$$;
з) $$(-8;-8),\ (8;8),\ (-4;4),\ (4;-4)$$.