Упр.1016 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

Решите системы уравнений:

а) $$\begin{cases} xy=6,\\ yz=3,\\ xz=2; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} yz=\frac{2}{3}x,\\ zx=\frac{3}{2}y,\\ xy=6z. \end{cases}$$

1. а) Из первого уравнения $$xy=6$$ получаем $$y=\frac{6}{x}$$.

   Из второго уравнения $$yz=3$$ имеем

   $$\frac{6}{x}z=3,\qquad z=\frac{x}{2}.$$

   Подставим в третье уравнение $$xz=2$$:

   $$x\cdot \frac{x}{2}=2,\qquad x^2=4,\qquad x=\pm 2.$$

   Тогда

   $$y=\frac{6}{x},\qquad z=\frac{x}{2}.$$

   При $$x=2$$: $$y=3,\ z=1.$$

   При $$x=-2$$: $$y=-3,\ z=-1.$$

2. б) Из первого уравнения $$yz=\frac{2}{3}x$$ получаем

   $$y=\frac{2x}{3z}.$$

   Из второго уравнения $$zx=\frac{3}{2}y$$ имеем

   $$x=\frac{3y}{2z}=\frac{3}{2z}\cdot \frac{2x}{3z}=\frac{x}{z^2}.$$

   Отсюда

   $$z^2=1,\qquad z=\pm 1.$$

   Из третьего уравнения $$xy=6z$$:

   $$x\cdot \frac{2x}{3z}=6z,\qquad 2x^2=18z^2,\qquad x^2=9,$$

   значит, $$x=\pm 3.$$

   Тогда

   $$y=\frac{2x}{3z}.$$

   Получаем четыре решения:

   $$(3,2,1),\ (3,-2,-1),\ (-3,2,-1),\ (-3,-2,1).$$

Ответ

а) $$(-2,-3,-1),\ (2,3,1).$$

б) $$(0,0,0),\ (-3,2,-1),\ (-3,-2,1),\ (3,2,1),\ (3,-2,-1).$$