Упр.1015 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) {(x+y^2=3, x^2+y=3); б) {(x^2+xy=y^2, x-y^2=0).

а) Из первого и второго уравнений выразим одинаковые выражения:

$$x+y^2=3,\qquad x^2+y=3.$$

Приравняем их:

$$x+y^2=x^2+y.$$

Перенесём всё в одну сторону и разложим на множители:

$$x-x^2+y^2-y=0$$

$$x-y=x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$

$$x-y-(x-y)(x+y)=0$$

$$ (x-y)(x+y-1)=0.$$

Отсюда два случая.

1) $$x-y=0,$$ то есть $$y=x.$$ Тогда из $$x^2+y=3$$ получаем

$$x^2+x-3=0.$$

$$D=1+12=13,$$

$$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2},\qquad y=x.$$

Получаем точки:

$$\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2},\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right),\quad \left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2},\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right).$$

2) $$x+y-1=0,$$ то есть $$y=1-x.$$ Подставим во второе уравнение:

$$x^2+(1-x)=3,$$

$$x^2-x-2=0,$$

$$ (x-2)(x+1)=0.$$

Значит, $$x=2$$ или $$x=-1.$$ Тогда

при $$x=2$$ имеем $$y=1-2=-1;$$

при $$x=-1$$ имеем $$y=1-(-1)=2.$$

Получаем ещё две точки:

$$(-1,2),\quad (2,-1).$$

б) Из второго уравнения:

$$x-y^2=0,\qquad x=y^2.$$

Подставим в первое уравнение:

$$x^2+xy=y^2$$

$$ (y^2)^2+y^2\cdot y=y^2$$

$$y^4+y^3-y^2=0$$

$$y^2(y^2+y-1)=0.$$

Отсюда:

$$y=0$$ или $$y^2+y-1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=1+4=5,$$

$$y=\frac{-1\pm\sqrt5}{2}.$$

Тогда

$$x=y^2.$$

Если $$y=\frac{-1-\sqrt5}{2},$$ то

$$x=\left(\frac{-1-\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{3+\sqrt5}{2}.$$

Если $$y=\frac{-1+\sqrt5}{2},$$ то

$$x=\left(\frac{-1+\sqrt5}{2}\right)^2=\frac{3-\sqrt5}{2}.$$

Если $$y=0,$$ то $$x=0.$$

Ответ

а) $$\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2},\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right),\ \left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2},\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right),\ (-1,2),\ (2,-1).$$

б) $$\left(\frac{3+\sqrt5}{2},\frac{-1-\sqrt5}{2}\right),\ \left(\frac{3-\sqrt5}{2},\frac{-1+\sqrt5}{2}\right),\ (0,0).$$