Упр.1013 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) {(x+y+xy=7, x^2+y^2+xy=13); б) {(x^2+xy+y^2=4, x+xy+y=2).

а)

$$ \begin{cases} x+y+xy=7,\\ x^2+y^2+xy=13. \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ x+y=7-xy. $$

Во втором уравнении преобразуем:

$$ x^2+y^2+xy=(x+y)^2-xy. $$

Тогда

$$ (7-xy)^2-xy=13. $$

Положим $$u=xy$$. Получим:

$$ (7-u)^2-u=13, $$
$$ 49-14u+u^2-u=13, $$
$$ u^2-15u+36=0. $$

$$ D=15^2-4\cdot 36=225-144=81, $$
$$ u_{1,2}=\frac{15\pm 9}{2}. $$

Отсюда:

$$ u_1=3,\qquad u_2=12. $$

1) Если $$xy=3$$, то $$y=\frac{3}{x}$$ и

$$ x+\frac{3}{x}=7-3=4, $$
$$ x^2-4x+3=0, $$
$$ (x-1)(x-3)=0. $$

Значит,

$$ (x,y)=(1,3),\ (3,1). $$

2) Если $$xy=12$$, то $$y=\frac{12}{x}$$ и

$$ x+\frac{12}{x}=7-12=-5, $$
$$ x^2+5x+12=0. $$

$$ D=5^2-4\cdot 12=25-48=-23<0, $$

действительных решений нет.

б)

$$ \begin{cases} x^2+xy+y^2=4,\\ x+xy+y=2. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ x+y=2-xy. $$

Первое уравнение перепишем так:

$$ x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy. $$

Тогда

$$ (2-xy)^2-xy=4. $$

Положим $$u=xy$$. Получим:

$$ (2-u)^2-u=4, $$
$$ 4-4u+u^2-u=4, $$
$$ u^2-5u=0, $$
$$ u(u-5)=0. $$

Рассмотрим оба случая.

1) Если $$xy=0$$, то:

• при $$x=0$$ из $$x+xy+y=2$$ получаем $$y=2$$;
• при $$y=0$$ из $$x+xy+y=2$$ получаем $$x=2$$.

Значит,

$$ (x,y)=(0,2),\ (2,0). $$

2) Если $$xy=5$$, то $$y=\frac{5}{x}$$ и

$$ x+\frac{5}{x}=2-5=-3, $$
$$ x^2+3x+5=0. $$

$$ D=3^2-4\cdot 5=9-20=-11<0, $$

действительных решений нет.

Ответ

а) $$ (1,3),\ (3,1) $$; б) $$ (2,0),\ (0,2) $$.