Упр.1012 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) {(x+xy+y=11, x-xy+y=1); б) {(x^3-y^3=8(x-y), x^2+y^2=8).

а) Сложим уравнения системы:

$$ (x+xy+y)+(x-xy+y)=11+1 $$

$$ 2x+2y=12 $$

$$ x+y=6 $$

Тогда $$y=6-x$$. Подставим во второе уравнение:

$$ x-xy+y=1 $$

$$ x-x(6-x)+(6-x)=1 $$

$$ x-6x+x^2+6-x=1 $$

$$ x^2-6x+5=0 $$

$$ (x-1)(x-5)=0 $$

$$ x=1 \text{ или } x=5 $$

Если $$x=1$$, то $$y=6-1=5$$. Если $$x=5$$, то $$y=6-5=1$$.

Следовательно, решения системы: $$ (1;5) $$ и $$ (5;1) $$.

б) Разложим разность кубов:

$$ x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) $$

Тогда первое уравнение системы можно записать так:

$$ (x-y)(x^2+xy+y^2)=8(x-y) $$

$$ (x-y)(x^2+xy+y^2-8)=0 $$

Но по второму уравнению $$x^2+y^2=8$$, значит

$$ x^2+xy+y^2-8=xy $$

поэтому

$$ (x-y)xy=0 $$

Отсюда возможны случаи:

1. $$x=y$$. Тогда из $$x^2+y^2=8$$ получаем

   $$ 2x^2=8,\quad x^2=4,\quad x=\pm 2 $$

   Значит, $$(-2;-2)$$ и $$(2;2)$$.

2. $$x=0$$. Тогда

   $$ y^2=8,\quad y=\pm 2\sqrt2 $$

   Получаем $$ (0;-2\sqrt2) $$ и $$ (0;2\sqrt2) $$.

3. $$y=0$$. Тогда

   $$ x^2=8,\quad x=\pm 2\sqrt2 $$

   Получаем $$ (-2\sqrt2;0) $$ и $$ (2\sqrt2;0) $$.

Ответ

а) $$ (1;5),\ (5;1) $$;

б) $$ (-2;-2),\ (2;2),\ (0;-2\sqrt2),\ (0;2\sqrt2),\ (-2\sqrt2;0),\ (2\sqrt2;0) $$.