Упр.1011 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) {(x+xy+y=11, (x^2)y+xy^2=30); б) {(x^2+xy+y^2=4, x+xy+y=2).

а)

$$ \begin{cases} x+xy+y=11,\\ x^2y+xy^2=30. \end{cases} $$

Из второго уравнения вынесем общий множитель:

$$ x^2y+xy^2=xy(x+y)=30. $$

Обозначим $$u=xy$$. Тогда из первого уравнения получаем

$$ x+y+\!xy=11 \;\Rightarrow\; x+y+\!u=11. $$

А из второго:

$$ u(x+y)=30 \;\Rightarrow\; x+y=\frac{30}{u}. $$

Подставим в первое уравнение:

$$ u+\frac{30}{u}=11. $$

Умножим на $$u$$:

$$ u^2-11u+30=0. $$

$$ D=11^2-4\cdot 30=121-120=1, $$

$$ u_1=\frac{11-1}{2}=5,\qquad u_2=\frac{11+1}{2}=6. $$

1) Если $$xy=5$$, то $$x+y=\frac{30}{5}=6$$. Тогда

$$ \begin{cases} x+y=6,\\ xy=5. \end{cases} $$

Корни уравнения $$t^2-6t+5=0$$ равны $$t=1$$ и $$t=5$$, значит:

$$ (x,y)=(1,5),\ (5,1). $$

2) Если $$xy=6$$, то $$x+y=\frac{30}{6}=5$$. Тогда

$$ \begin{cases} x+y=5,\\ xy=6. \end{cases} $$

Корни уравнения $$t^2-5t+6=0$$ равны $$t=2$$ и $$t=3$$, значит:

$$ (x,y)=(2,3),\ (3,2). $$

б)

$$ \begin{cases} x^2+xy+y^2=4,\\ x+xy+y=2. \end{cases} $$

Из второго уравнения:

$$ x+y=2-xy. $$

Обозначим $$u=xy$$. Тогда

$$ x+y=2-u. $$

Первое уравнение перепишем так:

$$ x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=4. $$

Подставим $$x+y=2-u$$:

$$ (2-u)^2-u=4. $$

$$ 4-4u+u^2-u=4, $$

$$ u^2-5u=0, $$

$$ u(u-5)=0. $$

1) Если $$xy=0$$, то:

• при $$x=0$$ из $$x+y=2$$ получаем $$y=2$$;
• при $$y=0$$ из $$x+y=2$$ получаем $$x=2$$.

Получаем решения:

$$ (x,y)=(0,2),\ (2,0). $$

2) Если $$xy=5$$, то $$x+y=2-5=-3$$. Тогда числа $$x$$ и $$y$$ должны быть корнями уравнения

$$ t^2+3t+5=0. $$

$$ D=3^2-4\cdot 5=9-20=-11<0, $$

действительных решений нет.

Ответ

а) $$ (1,5),\ (5,1),\ (2,3),\ (3,2) $$

б) $$ (2,0),\ (0,2) $$