Упр.1010 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) {((y-3)/(x+2)=1/3, xy+3x+4y=0); б) {(x/(y-1)+(y-1)/x=2, 2x-3y=5).

а) Из первого уравнения:

$$\frac{y-3}{x+2}=\frac13$$

получаем

$$3(y-3)=x+2,$$

$$3y-9=x+2,$$

$$x=3y-11.$$

Подставим во второе уравнение:

$$xy+3x+4y=0,$$

$$y(3y-11)+3(3y-11)+4y=0,$$

$$3y^2-11y+9y-33+4y=0,$$

$$3y^2+2y-33=0.$$

Найдём корни квадратного уравнения:

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-33)=4+396=400,$$

$$y_{1,2}=\frac{-2\pm 20}{6}.$$

Тогда

$$y_1=\frac{18}{6}=3,\qquad y_2=\frac{-22}{6}=-\frac{11}{3}.$$

Найдём соответствующие значения $x$:

$$x=3y-11.$$

Если $$y=3,$$ то $$x=9-11=-2,$$ но при этом $$x+2=0,$$ значит, это значение не подходит.

Если $$y=-\frac{11}{3},$$ то

$$x=3\cdot\left(-\frac{11}{3}\right)-11=-11-11=-22.$$

Следовательно, решение системы:

б) Из первого уравнения:

$$\frac{x}{y-1}+\frac{y-1}{x}=2.$$

Умножим на $$x(y-1)$$, учитывая ОДЗ: $$x\ne 0,$$ $$y\ne 1.$$

Получаем:

$$x^2+(y-1)^2=2x(y-1),$$

$$x^2+y^2-2y+1=2xy-2x,$$

$$x^2-2xy+y^2+2x-2y+1=0,$$

$$ (x-y)^2+2(x-y)+1=0,$$

$$((x-y)+1)^2=0.$$

Значит,

$$x-y+1=0,$$

$$y=x+1.$$

Подставим во второе уравнение:

$$2x-3y=5,$$

$$2x-3(x+1)=5,$$

$$2x-3x-3=5,$$

$$-x=8,$$

$$x=-8,$$

$$y=-8+1=-7.$$

Проверка ОДЗ: $$x\ne 0,$$ $$y\ne 1,$$ условие выполнено.

Ответ

а) $$(-22;\,-\frac{11}{3})$$; б) $$(-8;\,-7)$$.