Упр.1009 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) {(xy(x+y)=6, x^3+y^3=9); б) {(x+y=2, x^2+y^2-2=0).

а)

Из второго уравнения:
$$ x^3+y^3=9 $$
используем формулу суммы кубов:
$$ x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2). $$
Тогда
$$ (x+y)(x^2-xy+y^2)=9. $$
Так как
$$ x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy, $$
получаем
$$ (x+y)\bigl((x+y)^2-3xy\bigr)=9. $$
Из первого уравнения
$$ xy(x+y)=6. $$
Обозначим $$s=x+y$$, $$p=xy$$. Тогда система принимает вид:
$$ \begin{cases} sp=6,\\ s(s^2-3p)=9. \end{cases} $$
Подставим $$p=\dfrac{6}{s}$$ во второе уравнение:
$$ s\left(s^2-3\cdot \frac{6}{s}\right)=9, $$
$$ s^3-18=9, $$
$$ s^3=27, $$
$$ s=3. $$
Тогда
$$ p=\frac{6}{3}=2. $$
Следовательно, числа $$x$$ и $$y$$ — корни уравнения
$$ t^2-st+p=0, $$
то есть
$$ t^2-3t+2=0. $$
$$ (t-1)(t-2)=0. $$
Отсюда
$$ t=1 \text{ или } t=2. $$
Значит,
$$ (x,y)=(1,2) \text{ или } (2,1). $$

б)

Из первого уравнения:
$$ x+y=2, $$
$$ y=2-x. $$
Подставим во второе уравнение:
$$ x^2+y^2-2=0, $$
$$ x^2+(2-x)^2-2=0. $$
Раскроем скобки:
$$ x^2+4-4x+x^2-2=0, $$
$$ 2x^2-4x+2=0, $$
$$ x^2-2x+1=0, $$
$$ (x-1)^2=0. $$
Отсюда
$$ x=1, $$
тогда
$$ y=2-1=1. $$

Ответ

а) $$ (1,2),\ (2,1) $$; б) $$ (1,1) $$.