Упр.1003 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
- Подберите число $$x$$, удовлетворяющее равенству, если это возможно: а) $$x^2-3x+2=(1-x)\sqrt{x}$$; б) $$\frac{2}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}=1$$.
а) $$x^2-3x+2=(1-x)\sqrt{x}$$
Разложим левую часть на множители:
$$(x-1)(x-2)=(1-x)\sqrt{x}$$
Так как $$1-x=-(x-1)$$, получаем:
$$(x-1)(x-2)=-(x-1)\sqrt{x}$$
Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:
$$(x-1)\bigl((x-2)+\sqrt{x}\bigr)=0$$
Отсюда:
$$x-1=0 \quad \text{или} \quad (x-2)+\sqrt{x}=0$$
1) $$x=1$$.
2) $$x-2=-\sqrt{x}$$. Обозначим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t\ge 0$$ и $$x=t^2$$. Получаем:
$$t^2-2=-t$$
$$t^2+t-2=0$$
$$(t+2)(t-1)=0$$
С учётом $$t\ge 0$$ подходит только $$t=1$$, значит $$x=1$$.
Проверка области определения: $$x\ge 0$$, значение $$x=1$$ подходит.
б) $$\frac{2}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}=1$$
Область определения: $$x>0$$.
Положим $$t=\sqrt{x}$$, тогда $$t>0$$. Получаем:
$$\frac{2}{t}-t=1$$
Умножим на $$t$$:
$$2-t^2=t$$
$$t^2+t-2=0$$
$$(t+2)(t-1)=0$$
С учётом $$t>0$$ имеем $$t=1$$, значит $$x=1$$.
Ответ
а) $$x=1$$; б) $$x=1$$.
