Упр.1000 ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

а) 1/(x-x^(-1))=1; б) 1/(x+x^(-1))=1;
в) 2/(x^2+10x+25)-10/(25-x^2)=1/(x-5);
г) 1/(x^2-12x+36)+12/(36-x^2)=1/(x+6).

1. а) $$\frac{1}{x-x^{-1}}=1$$

   $$x-x^{-1}=1$$

   Умножим на $$x$$:

   $$x^2-1=x$$

   $$x^2-x-1=0$$

   $$D=1+4=5$$

   $$x=\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$

   Проверим ОДЗ: $$x-x^{-1}\ne 0$$, значит $$x\ne 0,\; x\ne \pm1$$. Оба корня подходят.

2. б) $$\frac{1}{x+x^{-1}}=1$$

   $$x+x^{-1}=1$$

   Умножим на $$x$$:

   $$x^2+1=x$$

   $$x^2-x+1=0$$

   $$D=1-4=-3<0$$

   Действительных корней нет.

3. в) $$\frac{2}{x^2+10x+25}-\frac{10}{25-x^2}=\frac{1}{x-5}$$

   Преобразуем знаменатели:

   $$x^2+10x+25=(x+5)^2,\qquad 25-x^2=(5-x)(5+x)=-(x-5)(x+5)$$

   Тогда

   $$\frac{2}{(x+5)^2}+\frac{10}{(x-5)(x+5)}=\frac{1}{x-5}$$

   Умножим на $$ (x-5)(x+5)^2 $$:

   $$2(x-5)+10(x+5)=(x+5)^2$$

   $$2x-10+10x+50=x^2+10x+25$$

   $$x^2-2x-15=0$$

   $$D=4+60=64$$

   $$x=\frac{2\pm 8}{2}$$

   $$x_1=-3,\qquad x_2=5$$

   По ОДЗ: $$x\ne \pm 5$$, значит $$x=5$$ не подходит.

4. г) $$\frac{1}{x^2-12x+36}+\frac{12}{36-x^2}=\frac{1}{x+6}$$

   Преобразуем знаменатели:

   $$x^2-12x+36=(x-6)^2,\qquad 36-x^2=(6-x)(6+x)=-(x-6)(x+6)$$

   Тогда

   $$\frac{1}{(x-6)^2}-\frac{12}{(x-6)(x+6)}=\frac{1}{x+6}$$

   Умножим на $$ (x+6)(x-6)^2 $$:

   $$x+6-12(x-6)=(x-6)^2$$

   $$x+6-12x+72=x^2-12x+36$$

   $$x^2-x-42=0$$

   $$D=1+168=169$$

   $$x=\frac{1\pm 13}{2}$$

   $$x_1=-6,\qquad x_2=7$$

   По ОДЗ: $$x\ne \pm 6$$, значит подходит только $$x=7$$.

Ответ

а) $$\frac{1\pm\sqrt5}{2}$$; б) корней нет; в) $$-3$$; г) $$7$$.