Упр.1 Задания на исследование ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)
Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых уравнение:
а) $$ax^2-(4a+1)x+9a=0$$;
б) $$ax^2+(3a-1)x-4a=0$$;
в) $$ax^2-(2a+1)x+a=0$$;
г) $$4ax^2-4x+a-1=0$$;
имеет единственный корень; имеет два различных корня; не имеет корней.
а) $$ax^2-(4a+1)x+9a=0$$
Если $$a=0$$, получаем линейное уравнение $$-x=0$$, у которого один корень.
Если $$a\neq 0$$, то это квадратное уравнение. Найдём дискриминант:
$$D=(4a+1)^2-4\cdot a\cdot 9a=16a^2+8a+1-36a^2=8a+1-20a^2.$$
Для двух различных корней нужно $$D>0$$:
$$8a+1-20a^2>0 \;\Longleftrightarrow\; 20a^2-8a-1<0.$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D_1=(-8)^2-4\cdot 20\cdot(-1)=64+80=144,$$
$$a_{1,2}=\frac{8\pm 12}{40},\qquad a_1=-\frac{1}{10},\ a_2=\frac{1}{2}.$$
Тогда
$$20a^2-8a-1<0 \;\Longleftrightarrow\; -\frac{1}{10}<a<\frac{1}{2}.$$
Для одного корня нужно $$D=0$$ или $$a=0$$:
$$8a+1-20a^2=0 \;\Longleftrightarrow\; a\in\left\{-\frac{1}{10},\frac{1}{2}\right\}.$$
При $$a=0$$ уравнение линейное и тоже имеет один корень.
Если $$D<0$$, корней нет:
$$a<-\frac{1}{10}\quad \text{или}\quad a>\frac{1}{2}.$$
б) $$ax^2+(3a-1)x-4a=0$$
Если $$a=0$$, получаем линейное уравнение $$-x=0$$, один корень.
Если $$a\neq 0$$, найдём дискриминант:
$$D=(3a-1)^2-4\cdot a\cdot(-4a)=9a^2-6a+1+16a^2=25a^2-6a+1.$$
Рассмотрим этот трёхчлен:
$$25a^2-6a+1$$
Его дискриминант:
$$D_1=(-6)^2-4\cdot 25\cdot 1=36-100=-64<0.$$
Значит, $$25a^2-6a+1>0$$ при всех $$a$$, то есть при $$a\neq 0$$ уравнение всегда имеет два различных корня.
в) $$ax^2-(2a+1)x+a=0$$
Если $$a=0$$, получаем линейное уравнение $$-x=0$$, один корень.
Если $$a\neq 0$$, найдём дискриминант:
$$D=(2a+1)^2-4\cdot a\cdot a=4a^2+4a+1-4a^2=4a+1.$$
Для двух различных корней нужно:
$$4a+1>0 \;\Longleftrightarrow\; a>-\frac{1}{4}.$$
Для одного корня:
$$4a+1=0 \;\Longleftrightarrow\; a=-\frac{1}{4},$$
а также $$a=0$$ даёт линейное уравнение с одним корнем.
Если $$4a+1<0$$, корней нет:
$$a<-\frac{1}{4}.$$
г) $$4ax^2-4x+a-1=0$$
Если $$a=0$$, получаем линейное уравнение $$-4x-1=0$$, один корень.
Если $$a\neq 0$$, найдём дискриминант:
$$D=(-4)^2-4\cdot 4a\cdot(a-1)=16-16a^2+16a.$$
Для двух различных корней нужно:
$$16-16a^2+16a>0 \;\Longleftrightarrow\; a^2-a-1<0.$$
Найдём корни уравнения $$a^2-a-1=0$$:
$$a_{1,2}=\frac{1\pm \sqrt5}{2}.$$
Тогда
$$\frac{1-\sqrt5}{2}<a<\frac{1+\sqrt5}{2}.$$
Для одного корня:
$$a=\frac{1-\sqrt5}{2}\quad \text{или}\quad a=\frac{1+\sqrt5}{2},$$
а также $$a=0$$.
Если $$a<\frac{1-\sqrt5}{2}$$ или $$a>\frac{1+\sqrt5}{2}$$, корней нет.
Ответ
а) два корня при $$a\in\left(-\frac{1}{10};0\right)\cup\left(0;\frac{1}{2}\right)$$; один корень при $$a\in\left\{-\frac{1}{10};0;\frac{1}{2}\right\}$$; нет корней при $$a\in\left(-\infty;-\frac{1}{10}\right)\cup\left(\frac{1}{2};+\infty\right)$$.
б) два корня при $$a\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; один корень при $$a=0$$.
в) два корня при $$a\in\left(-\frac{1}{4};0\right)\cup(0;+\infty)$$; один корень при $$a\in\left\{-\frac{1}{4};0\right\}$$; нет корней при $$a\in\left(-\infty;-\frac{1}{4}\right)$$.
г) два корня при $$a\in\left(\frac{1-\sqrt5}{2};0\right)\cup\left(0;\frac{1+\sqrt5}{2}\right)$$; один корень при $$a\in\left\{\frac{1-\sqrt5}{2};0;\frac{1+\sqrt5}{2}\right\}$$; нет корней при $$a\in\left(-\infty;\frac{1-\sqrt5}{2}\right)\cup\left(\frac{1+\sqrt5}{2};+\infty\right)$$.
