Упр.1 Задания для самоконтроля ГДЗ Никольский Потапов 9 класс (Алгебра)

1. Вычислите $$\left(5{,}25-4\frac{21}{40}\right):1{,}45-\left(7\frac{1}{3}-6{,}875\right):0{,}75$$.
2. Упростите выражение $$\left(\frac{x^2+4}{x^2-4x+4}+\frac{x-2}{2-x}\right):\frac{4}{x^2-4}$$.
3. Постройте график функции $$y=x-1$$. Определите интервал, на котором функция принимает положительные значения.
4. Сумма двух чисел равна $$2$$, а их произведение равно $$-35$$. Найдите эти числа.

1. $$\left(5{,}25-4\frac{21}{40}\right):1{,}45-\left(7\frac{1}{3}-6{,}875\right):0{,}75$$

   $$5{,}25=\frac{21}{4},\quad 4\frac{21}{40}=\frac{181}{40},\quad 1{,}45=\frac{29}{20}$$

   $$7\frac{1}{3}=\frac{22}{3},\quad 6{,}875=\frac{55}{8},\quad 0{,}75=\frac{3}{4}$$

   $$\left(\frac{21}{4}-\frac{181}{40}\right):\frac{29}{20} -\left(\frac{22}{3}-\frac{55}{8}\right):\frac{3}{4}$$

   $$\frac{29}{40}:\frac{29}{20}-\left(\frac{176-165}{24}\right):\frac{3}{4} = \frac{29}{40}\cdot\frac{20}{29}-\frac{11}{24}\cdot\frac{4}{3}$$

   $$\frac{1}{2}-\frac{11}{18} = \frac{9-11}{18} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9}$$

2. $$\left(\frac{x^2+4}{x^2-4x+4}+\frac{x-2}{2-x}\right):\frac{4}{x^2-4}$$

   Так как $$x^2-4x+4=(x-2)^2,\quad 2-x=-(x-2),\quad x^2-4=(x-2)(x+2),$$
   получаем

   $$\left(\frac{x^2+4}{(x-2)^2}-\frac{1}{1}\right):\frac{4}{(x-2)(x+2)} = \left(\frac{x^2+4-(x-2)^2}{(x-2)^2}\right)\cdot\frac{(x-2)(x+2)}{4}$$

   $$x^2+4-(x-2)^2=x^2+4-(x^2-4x+4)=4x$$

   $$\frac{4x}{(x-2)^2}\cdot\frac{(x-2)(x+2)}{4} = \frac{x(x+2)}{x-2} = \frac{x^2+2x}{x-2}$$

3. Функция $$y=x-1$$ — линейная. Для построения достаточно взять две точки:

   $$x=1 \Rightarrow y=0,\qquad x=3 \Rightarrow y=2$$

   График — прямая, проходящая через точки $$\left(1,0\right)$$ и $$\left(3,2\right)$$.
   Положительные значения функция принимает при

   $$x-1>0 \Rightarrow x>1$$

4. Пусть числа $$x$$ и $$y$$. Тогда

   $$\begin{cases} x+y=2,\\ xy=-35 \end{cases}$$

   Из первого уравнения $$y=2-x$$. Подставим во второе:

   $$x(2-x)=-35$$

   $$2x-x^2=-35$$

   $$x^2-2x-35=0$$

   $$(x-7)(x+5)=0$$

   $$x=7 \text{ или } x=-5$$

   Тогда соответствующие значения $$y$$:

   $$x=7 \Rightarrow y=-5,\qquad x=-5 \Rightarrow y=7$$

Ответ

1) $$-\frac{1}{9}$$; 2) $$\frac{x^2+2x}{x-2}$$; 3) $$x\in(1;+\infty)$$; 4) $$-5$$ и $$7$$.