Ответы на вопросы Глава 5 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

2. Приведите примеры возрастающей последовательности, убывающей последовательности, немонотонной последовательности.
3. Перечислите способы задания числовой последовательности. В чём заключается каждый способ?
4. Сформулируйте определение арифметической прогрессии.
5. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.
6. Сформулируйте характеристическое свойство арифметической прогрессии.
7. Запишите формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии.
8. Сформулируйте определение геометрической прогрессии.
9. Запишите формулу n-го члена геометрической прогрессии.
10. Что такое среднее геометрическое двух чисел?
11. Сформулируйте характеристическое свойство геометрической прогрессии.
12. Запишите формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии.
13. В каком случае можно говорить о сумме бесконечной геометрической прогрессии? Какая формула для суммы используется в этом случае? 1. Сформулируйте правило умножения для выбора трёх элементов.
2. Запишите формулу для подсчёта числа перестановок из n элементов.
3. Каким символом обозначается число перестановок из n элементов?
4. Каким символом обозначается число размещений из n элементов по k?
5. Каким символом обозначается число сочетаний из n элементов по k?
6. Запишите формулу для подсчёта числа сочетаний из n элементов по k.
7. Дайте определение суммы двух событий.
8. Дайте определение произведения двух событий.
9. Сформулируйте теорему о вероятности суммы двух событий.
10. Как эта теорема выглядит для случая двух несовместных событий?
11. Как эта теорема выглядит для случая двух независимых событий?
12. Дайте определение независимости двух событий.
13. Как связаны между собой вероятность «успеха» и вероятность «неудачи» в одном испытании Бернулли?
14. Приведите формулу Бернулли для вероятности наступления определённого числа «успехов».
15. Заполните таблицу распределения вероятностей числа «успехов» для трёхкратного повторения одного испытания Бернулли.
16. Приведите примеры случайных величин, связанных с бросанием монеты.
17. Приведите примеры случайных величин, связанных с бросанием игрального кубика.
18. Приведите примеры случайных величин, связанных со школьными оценками.
19. Сформулируйте определение случайной величины.
20. Почему сумма чисел во второй строке таблицы распределения с. в. равна 1?
21. Как по таблице распределения с. в. найти её математическое ожидание?
22. Приведите формулу для подсчёта математического ожидания числа «успехов» в испытаниях Бернулли.

1. Числовой последовательностью называют функцию натурального аргумента, то есть соответствие, при котором каждому натуральному числу $$n$$ ставится в соответствие число $$a_n$$.

2. Примеры:

   • возрастающая: $$a_n=2n,\; b_n=3^n,\; c_n=n^2$$;
   • убывающая: $$a_n=1-n,\; b_n=\frac{1}{5^n},\; c_n=\frac{1}{n}$$;
   • немонотонная: $$a_n=(-1)^n\cdot 5n,\; b_n=(-2)^n$$.

3. Способы задания последовательности:

   • аналитический — задаётся формула $$n$$-го члена;
   • словесный — задаётся правило построения членов;
   • перечислением — выписываются все члены последовательности;
   • рекуррентный — задаются некоторые члены и правило нахождения следующих через предыдущие.

4. Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа $$d$$.

5. Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:

   $$a_n=a_1+d(n-1)$$

6. Характеристическое свойство арифметической прогрессии: последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, кроме первого и последнего, равен среднему арифметическому соседних членов.

7. Формулы суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:

   $$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$

   $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$

8. Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый её член, начиная со второго, получается из предыдущего умножением на одно и то же число $$q$$.

9. Формула $$n$$-го члена геометрической прогрессии:

   $$b_n=b_1q^{n-1}$$

10. Средним геометрическим двух чисел $$a$$ и $$b$$ называют число $$\sqrt{ab}$$.

11. Характеристическое свойство геометрической прогрессии: последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, кроме первого и последнего, равен произведению предыдущего и последующего членов.

12. Формула суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

    $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$

13. О сумме бесконечной геометрической прогрессии можно говорить, если $$|q|<1$$. В этом случае

    $$S=\frac{b_1}{1-q}$$

14. Правило умножения для выбора трёх элементов: если первый элемент можно выбрать $$n$$ способами, второй — $$k$$ способами, третий — $$m$$ способами, то все три элемента можно выбрать $$nkm$$ способами.

15. Число перестановок из $$n$$ элементов:

    $$P_n=n!$$

16. Число перестановок из $$n$$ элементов обозначается $$P_n$$.

17. Число размещений из $$n$$ элементов по $$k$$ обозначается $$A_n^k$$.

18. Число сочетаний из $$n$$ элементов по $$k$$ обозначается $$C_n^k$$.

19. Формула числа сочетаний:

    $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

20. Суммой двух событий $$A$$ и $$B$$ называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из этих событий: $$A$$ или $$B$$.

21. Произведением двух событий $$A$$ и $$B$$ называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: и $$A$$, и $$B$$.

22. Теорема о вероятности суммы двух событий:

    $$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$

23. Для несовместных событий $$A$$ и $$B$$:

    $$P(A+B)=P(A)+P(B)$$

24. Для независимых событий $$A$$ и $$B$$:

    $$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$$

25. События $$A$$ и $$B$$ называют независимыми, если

    $$P(AB)=P(A)\cdot P(B)$$

26. В одном испытании Бернулли вероятность успеха и вероятность неудачи связаны соотношением:

    $$p+q=1$$

27. Формула Бернулли:

    $$P_n(k)=C_n^k p^k q^{\,n-k}$$

    где $$p$$ — вероятность успеха, $$q=1-p$$ — вероятность неудачи.

28. Для трёхкратного повторения испытания распределение числа успехов имеет вид:

    Число успехов	0	1	2	3
    Вероятность	$$q^3$$	$$3pq^2$$	$$3p^2q$$	$$p^3$$

29. Примеры случайных величин при бросании монеты: число выпавших орлов, число выпавших решек.

30. Примеры случайных величин при бросании игрального кубика: выпавшее число очков, модуль разности чисел при двух бросках.

31. Примеры случайных величин, связанных со школьными оценками: сумма оценок за работу, средний балл, число пятёрок.

32. Случайная величина — это функция, которая каждому исходу испытания ставит в соответствие некоторое число.

33. Сумма чисел во второй строке таблицы распределения случайной величины равна $$1$$, так как эти числа являются вероятностями всех возможных значений случайной величины.

34. Математическое ожидание по таблице распределения находят по формуле:

    $$M(S)=s_1p_1+s_2p_2+\cdots+s_np_n$$

35. Математическое ожидание числа успехов в $$n$$ испытаниях Бернулли равно:

    $$M=np$$

Ответ

1) Числовая последовательность — функция натурального аргумента. 2) Примеры: возрастающая $$2n, 3^n, n^2$$; убывающая $$1-n, \frac{1}{5^n}, \frac{1}{n}$$; немонотонная $$(-1)^n\cdot 5n, (-2)^n$$. 3) Способы задания: аналитический, словесный, перечислением, рекуррентный. 4) Арифметическая прогрессия — последовательность с постоянной разностью $$d$$. 5) $$a_n=a_1+d(n-1)$$. 6) Каждый член, кроме первого и последнего, равен среднему арифметическому соседних. 7) $$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$$, $$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n$$. 8) Геометрическая прогрессия — последовательность с постоянным знаменателем $$q$$. 9) $$b_n=b_1q^{n-1}$$. 10) Среднее геометрическое двух чисел $$\sqrt{ab}$$. 11) Квадрат каждого члена, кроме первого и последнего, равен произведению соседних. 12) $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$. 13) При $$|q|<1$$: $$S=\frac{b_1}{1-q}$$. 14) Правило умножения: $$nkm$$. 15) $$P_n=n!$$. 16) $$P_n$$. 17) $$A_n^k$$. 18) $$C_n^k$$. 19) $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$. 20) $$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$$. 21) Для несовместных: $$P(A+B)=P(A)+P(B)$$. 22) Для независимых: $$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)$$. 23) $$P(AB)=P(A)\cdot P(B)$$. 24) $$p+q=1$$. 25) $$P_n(k)=C_n^k p^k q^{n-k}$$. 26) Для трёх испытаний: $$q^3, 3pq^2, 3p^2q, p^3$$. 27) Примеры случайных величин: число орлов, число решек, выпавшее число очков, сумма оценок, средний балл, число пятёрок. 28) Случайная величина — функция, сопоставляющая исходу испытания число. 29) Сумма вероятностей в таблице равна $$1$$. 30) $$M(S)=s_1p_1+\cdots+s_np_n$$. 31) $$M=np$$.