Ответы на вопросы Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
2. Что такое область определения функции; область значений функции?
3. Что называют графиком функции y=f(x)?
4. Перечислите способы задания функции. В чём состоит каждый из способов?
5. Какую функцию называют возрастающей; убывающей?
6. Какую функцию называют ограниченной снизу; ограниченной сверху; ограниченной; неограниченной?
7. Какую функцию называют выпуклой вниз; выпуклой вверх?
8. Сформулируйте определение наименьшего (наибольшего) значения функции на заданном промежутке.
9. Какую функцию называют чётной; нечётной?
10. Каким свойством обладает график чётной функции; нечётной функции?
11. Как построить график функции y=|f(x)|, если известен график функции y=f(x)?
12. Как построить график функции y=f(|x|), если известен график функции y=f(x)? 1. Что такое числовая последовательность?
2. Приведите примеры возрастающей последовательности, убывающей последовательности, немонотонной последовательности.
3. Перечислите способы задания числовой последовательности. В чём заключается каждый способ?
4. Сформулируйте определение арифметической прогрессии.
5. Запишите формулу n-го члена арифметической прогрессии.
6. Сформулируйте характеристическое свойство арифметической прогрессии.
7. Запишите формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии.
8. Сформулируйте определение геометрической прогрессии.
9. Запишите формулу n-го члена геометрической прогрессии.
10. Что такое среднее геометрическое двух чисел?
11. Сформулируйте характеристическое свойство геометрической прогрессии.
12. Запишите формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии.
13. В каком случае можно говорить о сумме бесконечной геометрической прогрессии? Какая формула для суммы используется в этом случае?
Если дано числовое множество $$X$$ и правило $$f$$, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу $$x \in X$$ определённое число $$y$$, то говорят, что задана функция $$y=f(x)$$.
Область определения функции $$y=f(x)$$, $$x \in X$$, — это множество $$X$$. Область значений функции — множество всех значений переменной $$y$$; их обозначают $$D(f)$$ и $$E(f)$$.
Графиком функции $$y=f(x)$$, где $$x \in X$$, называют множество точек $$G$$ координатной плоскости $$xOy$$ таких, что
$$G=\{(x;y)\mid x\in X,\ y=f(x)\}.$$
Способы задания функции:
- аналитический — в виде одной или нескольких формул;
- графический — в виде графика функции на плоскости;
- табличный — в виде пар значений аргумента и функции;
- словесный — правило описывается словами.
Функцию $$y=f(x)$$ называют убывающей на множестве $$X \subset D(f)$$, если для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ из $$X$$, таких что $$x_1<x_2$$, выполняется $$f(x_1)>f(x_2)$$.
Функцию $$y=f(x)$$ называют возрастающей на множестве $$X \subset D(f)$$, если для любых $$x_1$$ и $$x_2$$ из $$X$$, таких что $$x_1<x_2$$, выполняется $$f(x_1)<f(x_2)$$.
Функцию $$y=f(x)$$ называют ограниченной снизу на множестве $$X \subset D(f)$$, если существует число $$m$$ такое, что для любого $$x \in X$$ верно $$f(x)>m$$.
Функцию $$y=f(x)$$ называют ограниченной сверху на множестве $$X \subset D(f)$$, если существует число $$M$$ такое, что для любого $$x \in X$$ верно $$f(x)<M$$.
Если функция ограничена и снизу, и сверху, то её называют ограниченной, в противном случае — неограниченной.
Функцию $$y=f(x)$$ называют выпуклой вниз на множестве $$X \subset D(f)$$, если для любых двух точек графика прямая, проходящая через эти точки, лежит выше графика.
Функцию $$y=f(x)$$ называют выпуклой вверх на множестве $$X \subset D(f)$$, если для любых двух точек графика прямая, проходящая через эти точки, лежит ниже графика.
Число $$m$$ называют наименьшим значением функции $$y=f(x)$$ на множестве $$X \subset D(f)$$, если:
1) существует число $$x_0 \in X$$ такое, что $$f(x_0)=m$$;
2) для любого $$x \in X$$ верно $$f(x)\ge f(x_0)$$.
Число $$M$$ называют наибольшим значением функции $$y=f(x)$$ на множестве $$X \subset D(f)$$, если:
1) существует число $$x_0 \in X$$ такое, что $$f(x_0)=M$$;
2) для любого $$x \in X$$ верно $$f(x)\le f(x_0)$$.
Функцию $$y=f(x)$$, $$x \in X$$, называют чётной, если для любого $$x \in X$$ выполняется $$f(-x)=f(x)$$.
Функцию $$y=f(x)$$, $$x \in X$$, называют нечётной, если для любого $$x \in X$$ выполняется $$f(-x)=-f(x)$$.
График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Чтобы построить график функции $$y=|f(x)|$$, нужно:
1) оставить без изменения ту часть графика $$y=f(x)$$, которая лежит не ниже оси $$Ox$$;
2) части графика, лежащие ниже оси $$Ox$$, заменить на симметричные им относительно оси $$Ox$$.
Чтобы построить график функции $$y=f(|x|)$$, нужно:
1) оставить без изменения ту часть графика $$y=f(x)$$, которая лежит правее оси $$Oy$$, и отбросить части графика, лежащие левее оси $$Oy$$;
2) к оставшейся части графика добавить её симметричный образ относительно оси $$Oy$$.
Любую функцию вида $$y=f(x)$$, $$x \in \mathbb{N}$$, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают $$y=f(n)$$ или $$y_1, y_2, y_3, \ldots, y_n, \ldots$$
Примеры последовательностей:
возрастающая: $$a_n=2n,\ b_n=3^n,\ c_n=n^2$$;
убывающая: $$a_n=1-n,\ b_n=\frac{1}{5^n},\ c_n=\frac{1}{n}$$;
немонотонная: $$a_n=(-1)^n\cdot 5n,\ b_n=(-2)^n$$.
Способы задания последовательностей:
1) аналитический — указывается формула $$n$$-го члена;
2) словесный — описывается правило задания членов;
3) перечислением всех членов последовательности;
4) рекуррентный — указываются некоторые члены и способ задания следующего члена из предыдущих.
Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа $$d$$, называют арифметической прогрессией; $$d$$ — разность арифметической прогрессии.
Формула $$n$$-го члена арифметической прогрессии:
$$a_n=a_1+d(n-1).$$
Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, кроме первого (и последнего), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов.
Формулы суммы первых $$n$$ членов арифметической прогрессии:
$$S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n,$$
$$S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}{2}\cdot n.$$
Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на одно и то же число $$q$$, называют геометрической прогрессией; $$q$$ — знаменатель геометрической прогрессии.
Формула $$n$$-го члена геометрической прогрессии:
$$b_n=b_1q^{n-1},$$
или
$$b_n=\frac{b_1}{q}\cdot q^n.$$
Число $$\sqrt{ab}$$ называют средним геометрическим двух чисел $$a$$ и $$b$$.
Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого её члена, кроме первого (и последнего), равен произведению предыдущего и последующего членов.
Формула суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:
$$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$
Если в геометрической прогрессии $$b_n$$ со знаменателем $$q$$ модуль знаменателя $$|q|<1$$, то можно найти сумму всех её членов:
$$S=\frac{b_1}{1-q}.$$
Ответ
1) $$y=f(x)$$ — функция, если каждому $$x \in X$$ поставлено в соответствие единственное число $$y$$.
2) $$D(f)$$ — область определения, $$E(f)$$ — область значений.
3) График функции — множество точек $$ (x;f(x)) $$ на координатной плоскости.
4) Аналитический, графический, табличный, словесный способы.
5) Возрастающая: $$x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$$; убывающая: $$x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$$.
6) Ограниченная снизу, сверху, ограниченная, неограниченная — по наличию нижней и/или верхней границы.
7) Выпуклая вниз и выпуклая вверх — по положению хорды относительно графика.
8) Наименьшее/наибольшее значение — это соответственно минимальное/максимальное значение, достигаемое функцией на промежутке.
9) Чётная: $$f(-x)=f(x)$$; нечётная: $$f(-x)=-f(x)$$.
10) Чётная функция симметрична относительно оси $$Oy$$, нечётная — относительно начала координат.
11) Для $$y=|f(x)|$$ часть графика ниже $$Ox$$ отражают относительно оси $$Ox$$.
12) Для $$y=f(|x|)$$ правую часть графика отражают относительно оси $$Oy$$.
