Ответы на вопросы Глава 3 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

2. Запишите формулу для подсчёта числа перестановок из n элементов.
3. Каким символом обозначается число перестановок из n элементов?
4. Каким символом обозначается число размещений из n элементов по k?
5. Каким символом обозначается число сочетаний из n элементов по k?
6. Запишите формулу для подсчёта числа сочетаний из n элементов по k.
7. Дайте определение суммы двух событий.
8. Дайте определение произведения двух событий.
9. Сформулируйте теорему о вероятности суммы двух событий.
10. Как эта теорема выглядит для случая двух несовместных событий?
11. Как эта теорема выглядит для случая двух независимых событий?
12. Дайте определение независимости двух событий.
13. Верно ли, что два несовместных события, вероятности которых положительны, являются независимыми?
14. Объясните, почему условная вероятность не может быть больше единицы.
15. Приведите пример того, что P(A/B) может отличаться от P(B/A). 1. Дайте определение числовой функции.
2. Что такое область определения функции; область значений функции?
3. Что называют графиком функции y=f(x)?
4. Перечислите способы задания функции. В чём состоит каждый из способов?
5. Какую функцию называют возрастающей; убывающей?
6. Какую функцию называют ограниченной снизу; ограниченной сверху; ограниченной; неограниченной?
7. Какую функцию называют выпуклой вниз; выпуклой вверх?
8. Сформулируйте определение наименьшего (наибольшего) значения функции на заданном промежутке.
9. Какую функцию называют чётной; нечётной?
10. Каким свойством обладает график чётной функции; нечётной функции?
11. Как построить график функции y=|f(x)|, если известен график функции y=f(x)?
12. Как построить график функции y=f(|x|), если известен график функции y=f(x)?

1. Правило умножения для выбора трёх элементов: если первый элемент можно выбрать $$m_1$$ способами, второй — $$m_2$$ способами, третий — $$m_3$$ способами, то всего способов выбора равно $$m_1 \cdot m_2 \cdot m_3$$.
2. Число перестановок из $$n$$ элементов:
   $$P_n = n!$$
3. Число перестановок из $$n$$ элементов обозначается $$P_n$$.
4. Число размещений из $$n$$ элементов по $$k$$ обозначается $$A_n^k$$.
5. Число сочетаний из $$n$$ элементов по $$k$$ обозначается $$C_n^k$$.
6. Формула числа сочетаний:
   $$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$
7. Суммой двух событий $$A$$ и $$B$$ называют событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них: $$A \cup B$$.
8. Произведением двух событий $$A$$ и $$B$$ называют событие, состоящее в совместном наступлении обоих событий: $$A \cap B$$.
9. Теорема о вероятности суммы двух событий:
   $$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$
10. Для несовместных событий $$A$$ и $$B$$:
    $$P(A \cap B)=0,$$
    поэтому
    $$P(A \cup B)=P(A)+P(B).$$
11. Для независимых событий $$A$$ и $$B$$:
    $$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B),$$
    значит
    $$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A)\cdot P(B).$$
12. Два события $$A$$ и $$B$$ называются независимыми, если
    $$P(A \cap B)=P(A)\cdot P(B).$$
13. Нет. Если события несовместны и $$P(A)>0$$, $$P(B)>0$$, то
    $$P(A \cap B)=0 \ne P(A)\cdot P(B),$$
    значит, они не являются независимыми.
14. Условная вероятность не может быть больше единицы, так как
    $$P(A/B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \le \frac{P(B)}{P(B)}=1,$$
    поскольку $$A \cap B \subseteq B$$.
15. Например, при броске игрального кубика пусть
    $$A$$ — выпало число очков больше 4,
    $$B$$ — выпало нечётное число очков.
    Тогда
    $$P(A/B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{1/6}{3/6}=\frac13,$$
    а
    $$P(B/A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{1/6}{2/6}=\frac12.$$
    Следовательно, $$P(A/B) \ne P(B/A).$$
16. Если дано числовое множество $$X$$ и правило $$f$$, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу $$x \in X$$ определённое число $$y$$, то говорят, что задана функция $$y=f(x)$$.
17. Область определения функции $$y=f(x)$$, $$x \in X$$, — это множество $$X$$. Область значений — множество всех значений переменной $$y$$; их обозначают $$D(f)$$ и $$E(f)$$.
18. Графиком функции $$y=f(x)$$, где $$x \in X$$, называют множество точек координатной плоскости $$xOy$$ таких, что
    $$G=\{(x;y)\mid x\in X,\ y=f(x)\}.$$
19. Способы задания функции:
    • аналитический — в виде одной или нескольких формул;
    • графический — в виде графика функции на плоскости;
    • табличный — в виде пар значений аргумента и функции;
    • словесный — правило описывается словами.
20. Функцию $$y=f(x)$$ называют убывающей на множестве $$X \subset D(f)$$, если при $$x_1f(x_2)$$. Функцию $$y=f(x)$$ называют возрастающей на множестве $$X \subset D(f)$$, если при $$x_1
21. Функцию $$y=f(x)$$ называют ограниченной снизу, если существует число $$m$$ такое, что для любого $$x \in X$$ верно $$f(x)>m$$. Ограниченной сверху — если существует число $$M$$ такое, что для любого $$x \in X$$ верно $$f(x)
22. Функция $$y=f(x)$$ является выпуклой вниз на множестве $$X \subset D(f)$$, если её график лежит ниже любой прямой, проходящей через точки $$\bigl(x_1;f(x_1)\bigr)$$ и $$\bigl(x_2;f(x_2)\bigr)$$. Функция $$y=f(x)$$ является выпуклой вверх, если её график лежит выше такой прямой.
23. Число $$m$$ называют наименьшим значением функции $$y=f(x)$$ на множестве $$X \subset D(f)$$, если существует $$x_0 \in X$$ такое, что $$f(x_0)=m$$, и для любого $$x \in X$$ верно $$f(x)\ge f(x_0)$$. Число $$M$$ называют наибольшим значением функции, если существует $$x_0 \in X$$ такое, что $$f(x_0)=M$$, и для любого $$x \in X$$ верно $$f(x)\le f(x_0)$$.
24. Функцию $$y=f(x)$$, $$x \in X$$, называют чётной, если для любого $$x \in X$$ выполняется
    $$f(-x)=f(x).$$
    Функцию $$y=f(x)$$, $$x \in X$$, называют нечётной, если для любого $$x \in X$$ выполняется
    $$f(-x)=-f(x).$$
25. График чётной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечётной функции симметричен относительно начала координат.
26. Чтобы построить график функции $$y=|f(x)|$$, нужно оставить без изменения часть графика $$y=f(x)$$, лежащую не ниже оси $$Ox$$, а части графика, лежащие ниже оси $$Ox$$, заменить на симметричные им относительно оси $$Ox$$.
27. Чтобы построить график функции $$y=f(|x|)$$, нужно оставить без изменения ту часть графика $$y=f(x)$$, которая лежит правее оси $$Oy$$, отбросить часть графика, лежащую левее оси $$Oy$$, и добавить к оставшейся части её симметричный образ относительно оси $$Oy$$.

Ответ

1) $$m_1 \cdot m_2 \cdot m_3$$; 2) $$P_n=n!$$; 3) $$P_n$$; 4) $$A_n^k$$; 5) $$C_n^k$$; 6) $$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$; 7) $$A\cup B$$; 8) $$A\cap B$$; 9) $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$; 10) $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$; 11) $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$; 12) $$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$$; 13) нет; 14) $$P(A/B)\le 1$$; 15) например, $$P(A/B)=\frac13$$, $$P(B/A)=\frac12$$.

1) Функция — это соответствие, при котором каждому $$x \in X$$ ставится в соответствие единственное число $$y$$; 2) $$D(f)=X$$, $$E(f)$$ — множество значений функции; 3) график — множество точек $$\{(x;y)\mid y=f(x)\}$$; 4) аналитический, графический, табличный, словесный; 5) убывающая: при $$x_1<x_2$$ имеем $$f(x_1)>f(x_2)$$, возрастающая: $$f(x_1)<f(x_2)$$; 6) ограниченная снизу/сверху — если существуют соответствующие границы $$m$$ и $$M$$; 7) выпуклая вниз/вверх — по положению графика относительно хорд; 8) наименьшее и наибольшее значения определяются существованием точки $$x_0$$, где функция их принимает, и соответствующими неравенствами; 9) чётная: $$f(-x)=f(x)$$, нечётная: $$f(-x)=-f(x)$$; 10) симметрия относительно оси $$Oy$$ и начала координат; 11) отражаем часть графика ниже оси $$Ox$$ относительно этой оси; 12) сохраняем правую часть графика и достраиваем её симметрично относительно оси $$Oy$$.