Ответы на вопросы Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

2. Сформулируйте правила решения неравенства с одной переменной.
3. Какие неравенства называют равносильными?
4. Дайте определение квадратного неравенства.
5. Опишите алгоритм решения квадратного неравенства.
6. Расскажите, как решить рациональное неравенство с одной переменной методом интервалов.
7. Что называют системой неравенств с одной переменной? Что является решением системы неравенств?
8. Что называют совокупностью неравенств с одной переменной? Что является решением совокупности неравенств?
9. Как решить уравнение |f(x)|=c, где c>0?
10. Как решить неравенство |f(x)|c, где c>0?
11. Что называют решением неравенства с двумя переменными?
12. Как найти решение системы неравенств с двумя переменными?

1. Решить неравенство с одной переменной — значит найти все значения переменной, при которых данное неравенство становится верным.
2. Правила решения неравенств с одной переменной:
   • любой член неравенства можно перенести из одной части в другую, изменив знак на противоположный, при этом знак неравенства сохраняется;
   • обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, не меняя знак неравенства;
   • обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный.
3. Неравенства называют равносильными, если они имеют одинаковые множества решений.
4. Квадратным неравенством называют неравенство вида $$ax^2+bx+c>0,$$ где $$a\ne 0$$. Вместо знака $$>$$ может быть любой из знаков $$<, \ge, \le.$$
5. Алгоритм решения квадратного неравенства:
   1. найти корни квадратного трёхчлена $$ax^2+bx+c$$;
   2. отметить корни на оси $$Ox$$ и определить направление ветвей параболы, являющейся графиком функции $$y=ax^2+bx+c$$;
   3. по графической модели определить промежутки, на которых значения функции положительны или отрицательны, и записать ответ.
6. Рациональное неравенство с одной переменной решают методом интервалов:
   1. преобразуют левую часть неравенства в произведение или частное линейных множителей;
   2. находят и упорядочивают корни;
   3. учитывают, что при знаках $$<$$ или $$\ge$$ правый интервал открытый, а при $$\le$$ или $$>$$ — закрытый;
   4. в ответ включают промежутки, границами которых являются все корни полученных линейных множителей.
7. Система неравенств с одной переменной — это несколько неравенств, для которых нужно найти все значения переменной, удовлетворяющие каждому из них. Решением системы является любое такое значение; множество всех частных решений — общее решение системы.
8. Совокупность неравенств с одной переменной — это несколько неравенств, для которых нужно найти все значения переменной, удовлетворяющие хотя бы одному из них. Решением совокупности является любое такое значение; множество всех частных решений — общее решение совокупности.
9. Уравнение $$|f(x)|=c,$$ где $$c>0,$$ равносильно совокупности уравнений $$f(x)=c$$ и $$f(x)=-c.$$
10. Неравенство $$|f(x)|0,$$ равносильно неравенству $$-c Неравенство $$|f(x)|>c,$$ где $$c>0,$$ равносильно совокупности неравенств $$f(x)<-c$$ и $$f(x)>c.$$
11. Решением неравенства с двумя переменными называют всякую пару чисел $$\left(x;y\right),$$ которая обращает это неравенство в верное числовое неравенство.
12. Чтобы найти решение системы неравенств с двумя переменными, нужно отметить на координатной плоскости области решений каждого неравенства и затем выделить их общую часть.

Ответ

1) Решить неравенство с одной переменной — значит найти все значения переменной, при которых неравенство верно.
2) Основные правила: перенос слагаемых с изменением знака; умножение или деление на положительное число без изменения знака; умножение или деление на отрицательное число с изменением знака неравенства на противоположный.
3) Равносильные неравенства имеют одинаковые множества решений.
4) Квадратное неравенство имеет вид $$ax^2+bx+c>0,$$ где $$a\ne 0$$ (или аналогично с другими знаками).
5) Алгоритм: найти корни квадратного трёхчлена, отметить их на оси, определить направление ветвей параболы, выбрать промежутки нужного знака.
6) Метод интервалов: разложить на множители, найти корни, отметить их на оси и определить знаки на промежутках.
7) Система неравенств — это несколько неравенств, решение которых должно удовлетворять каждому из них.
8) Совокупность неравенств — это несколько неравенств, решение которых должно удовлетворять хотя бы одному из них.
9) $$|f(x)|=c \iff f(x)=c \text{ или } f(x)=-c,$$ где $$c>0.$$
10) $$|f(x)|c \iff f(x)<-c \text{ или } f(x)>c,$$ где $$c>0.$$
11) Решение неравенства с двумя переменными — это пара чисел $$\left(x;y\right),$$ удовлетворяющая неравенству.
12) Решение системы неравенств с двумя переменными находят как общую часть областей решений всех неравенств системы.