Тест Глава 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) (-36; -0,5); в) (-9; 4);
б) (-16; -1); г) (2; -10);
2. Укажите пару равносильных уравнений.
а) (x-2y)/5=5 и x-2y=25;
б) (x^2+y^2)(0,2x+0,4y+1)=0 и x+2y=-5;
в) (x^2-4y^2)/(5(x-2y))=0 и x^2-4y^2=0;
г) (x+2y)^2=25 и x+2y=5;
3. Укажите верные утверждения.
1) Графиком уравнения x^2+y^2=3 является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным трём.
2) Графиком уравнения 2y+x=2(y-1) является прямая.
3) Графиком уравнения x+xy=2 является гипербола.
4. Найдите длину отрезка NQ, если N(—2; 9) и Q(—7; —3).
5. Укажите уравнение окружности с центром в точке (—7; 2) и радиусом 10.
а) (x+7)^2+(y-2)^2=10; в) (x-7)^2+(y+2)^2=100;
б) (x-7)^2+(y+2)^2=10; г) (x+7)^2+(y-2)^2=100;
6. Найдите расстояние между точками пересечения окружности (x+2)^2+y^2=25 и прямой y=-3.
7. Укажите системы уравнений, решением которых является пара чисел (—2; —3).
а) {x^2+y^2=13, 2x-y=-1}; в) {x^2-y^2=-5, 2x^2-y=11};
б) {x^2+y^2=13, 2x+y=7}; г) {x^2-y^2=-5, 2x-y^2=5};
8. Решите систему уравнений {2x-y=-2, xy=4}.
9. Укажите полуокружность, заданную уравнением y=v(9-(x+2)^2).
10. Мастер и ученик, работая одновременно, могут покрасить стены в кабинете за 2 ч. Мастер, работая один, может выполнить эту работу на 3 ч быстрее, чем ученик. Сколько времени затратит ученик на покраску стен в кабинете, работая один?

Подробный ответ

Проверим подстановкой уравнение $$xy-4y=20$$.
Для пары $$(-9;4)$$ получаем:
$$(-9)\cdot 4-4\cdot 4=-36-16=-52\neq 20.$$
Эта пара не является решением.
Равносильны уравнения, имеющие одинаковые решения.
$$\frac{x-2y}{5}=5 \iff x-2y=25.$$
Это верная пара.
1) $$x^2+y^2=3$$ — окружность с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{3}$$, а не 3.
2) $$2y+x=2(y-1)\iff x=-2$$ — прямая.
3) $$x+xy=2 \iff x(1+y)=2 \iff y=\frac{2}{x}-1$$ — гипербола.
Верные утверждения: 2), 3).
Найдём расстояние между точками $$N(-2;9)$$ и $$Q(-7;-3)$$:
$$NQ=\sqrt{(-2+7)^2+(9+3)^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13.$$
Уравнение окружности с центром $$(-7;2)$$ и радиусом $$10$$:
$$ (x+7)^2+(y-2)^2=100. $$
Подставим $$y=-3$$ в уравнение окружности:
$$ (x+2)^2+y^2=25 $$
$$ (x+2)^2+9=25 $$
$$ (x+2)^2=16 $$
$$ x=-6 \text{ или } x=2. $$
Расстояние между точками пересечения:
$$2-(-6)=8.$$
Проверим пару $$(-2;-3)$$.
а) $$(-2)^2+(-3)^2=4+9=13,$$ $$2\cdot(-2)-(-3)=-4+3=-1.$$
б) $$2\cdot(-2)+(-3)=-7\neq 7.$$
в) $$(-2)^2-(-3)^2=4-9=-5,$$ $$2\cdot(-2)^2-(-3)=8+3=11.$$
г) $$2\cdot(-2)-(-3)^2=-4-9=-13\neq 5.$$
Подходит система а).
Из первого уравнения:
$$y=2x+2.$$
Подставим во второе:
$$x(2x+2)=4,$$
$$2x^2+2x-4=0,$$
$$x^2+x-2=0,$$
$$ (x+2)(x-1)=0. $$
Тогда $$x=-2$$ или $$x=1$$.
Если $$x=-2$$, то $$y=2\cdot(-2)+2=-2$$.
Если $$x=1$$, то $$y=2\cdot1+2=4$$.
$$y=\sqrt{9-(x+2)^2}$$
$$y^2=9-(x+2)^2$$
$$ (x+2)^2+y^2=9,\quad y\ge 0. $$
Это верхняя полуокружность окружности с центром $$(-2;0)$$ и радиусом $$3$$.
Пусть $$x$$ ч — время, за которое мастер красит кабинет один, а $$y$$ ч — время ученика.
Тогда:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2},$$
$$x=y-3.$$
Подставим $$x=y-3$$:
$$\frac{1}{y-3}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}.$$
$$2y+2(y-3)=y(y-3),$$
$$4y-6=y^2-3y,$$
$$y^2-7y+6=0,$$
$$ (y-1)(y-6)=0. $$
Так как $$y>3$$, получаем $$y=6$$.