Тест Глава 4 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
- Найдите область определения функции $$y=\sqrt{4-7x}$$.
а) $$(-\infty;\tfrac{4}{7}]$$; в) $$(-\infty;1{,}75]$$; б) $$[\tfrac{4}{7};+\infty)$$; г) $$[1\tfrac{3}{4};+\infty)$$. - Укажите функции, убывающие на отрезке $$[-1;1]$$.
а) $$y=2(x-2)^2$$; в) $$y=\sqrt[3]{x+1}$$; б) $$y=1-x^3$$; г) $$y=|2x-1|$$. - Найдите наибольшее значение функции $$y=-\sqrt[3]{x+2}$$ на отрезке $$[-10;5]$$.
- Вычислите: $$\sqrt[3]{72\cdot24}$$.
- Какая из данных функций является чётной?
а) $$y=x\sqrt{x}$$; в) $$y=x\sqrt[3]{x}$$; б) $$y=x\sqrt{|x|}$$; г) $$y=|x|\sqrt[3]{x}$$. - График функции $$y=kx^3$$ проходит через точку $$(5;1)$$. Найдите значение коэффициента $$k$$.
- Функция $$y=f(x)$$ имеет область значений $$E(f)=[-4;3]$$. Укажите область значений функции $$y=|f(x)|$$.
а) $$[3;4]$$; в) $$[0;3]$$; б) $$[0;4]$$; г) $$[0;+\infty)$$. - График какой из данных функций изображён на рисунке 204?
а) $$y=\sqrt[3]{x-1}$$; в) $$y=\sqrt[3]{x}-1$$; б) $$y=x^3-1$$; г) $$y=(x-1)^3$$. - Укажите неверное утверждение.
1) Если график функции симметричен относительно начала координат, то функция является нечётной.
2) Если при $$x_1>x_2$$ выполняется условие $$f(x_2) - На рисунке 205 изображён график функции $$y=f(x)$$. Найдите, при каких значениях $$a$$ уравнение $$f(x)=a$$ имеет один корень.
- Какая из указанных функций является числовой последовательностью?
а) $$y=0{,}1x^2,\ x\in\mathbb{Q}$$; в) $$y=\frac{3}{x}+1,\ x\in\mathbb{Z}$$; б) $$y=x^3,\ x\in\mathbb{N}$$; г) $$y=\frac{3x+1}{2},\ x\in\mathbb{R}$$. - Укажите последовательность, которая является арифметической прогрессией.
а) $$16,48,96,\ldots$$; в) $$25,50,76,\ldots$$; б) $$1,-3,9,\ldots$$; г) $$-0{,}25,-0{,}2,-0{,}15,\ldots$$. - Какие числа являются членами арифметической прогрессии $$a_n=0{,}5n-1$$?
а) $$-2$$; б) $$0{,}25$$; в) $$1$$; г) $$0$$. - В арифметической прогрессии $$(a_n)$$ найдите $$a_{31}$$, если $$a_{30}=-8$$, $$a_{32}=102$$.
- Найдите сумму первых шести членов арифметической прогрессии $$\frac{2}{3},\frac{3}{4},\frac{5}{6},\ldots$$.
- Найдите $$b_5$$ геометрической прогрессии $$-162,-108,-72,\ldots$$.
- Укажите последовательность, которая является знакочередующейся геометрической прогрессией.
а) $$\frac{2}{3},-1,\frac{1}{3},\ldots$$; в) $$-0{,}5,-2,-8,\ldots$$; б) $$-7,14,-21,\ldots$$; г) $$2{,}5,-2,1{,}6,\ldots$$. - Найдите номер члена геометрической прогрессии $$b_n=0{,}5^{3-n}$$, равного $$128$$.
- Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии $$(b_n)$$, если $$b_1=\frac{2}{3}$$, $$q=-\frac{2}{3}$$.
- Найдите значения $$t$$, при которых числа $$t+2,\ 2\sqrt{2},\ t$$ являются последовательными членами геометрической прогрессии.
Для функции $$y=\sqrt{4-7x}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$4-7x\ge 0,\quad 7x\le 4,\quad x\le \frac47.$$
Значит, область определения: $$(-\infty;\frac47].$$
На отрезке $$[-1;1]$$ убывают функции:
$$y=2(x-2)^2,\qquad y=1-x^3.$$
Следовательно, верны варианты а и б.
Функция $$y=-\sqrt[3]{x+2}$$ убывает, поэтому на отрезке $$[-10;5]$$ наибольшее значение достигается в левой границе:
$$y(-10)=-\sqrt[3]{-10+2}=-\sqrt[3]{-8}=2.$$
$$\sqrt[3]{72\cdot 24}=\sqrt[3]{1728}=\sqrt[3]{12^3}=12.$$
Чётной является функция
$$y=x\sqrt[3]{|x|}.$$
Действительно,
$$y(-x)=-x\sqrt[3]{|-x|}=-x\sqrt[3]{|x|}=-y(x).$$
Значит, эта функция нечётная, а чётной среди данных нет; в исходном наборе верный вариант — в.
Если график $$y=kx^3$$ проходит через точку $$A(5;1)$$, то
$$1=k\cdot 5^3=125k,$$
откуда
$$k=\frac1{125}=0{,}008.$$
Если $$E(f)=[-4;3]$$, то для функции $$y=|f(x)|$$ получаем:
$$0\le |f(x)|\le 4,$$
значит, область значений равна $$[0;4].$$
На рисунке 204 изображён график функции
$$y=(x-1)^3.$$
Неверным является утверждение 2, так как при $$x_1>x_2$$ и $$f(x_2)
Уравнение $$f(x)=a$$ имеет один корень при значениях $$a=0$$ и $$a=4.$$
Числовой последовательностью является функция, заданная на множестве натуральных чисел:
$$y=x^3,\quad x\in \mathbb{N}.$$
Арифметической прогрессией является последовательность
$$-0{,}25;\ -0{,}2;\ -0{,}15;\ldots$$
Для последовательности $$a_n=0{,}5n-1$$:
$$a_n=-2 \Rightarrow 0{,}5n-1=-2 \Rightarrow n=-2,$$
$$a_n=0{,}25 \Rightarrow 0{,}5n-1=0{,}25 \Rightarrow n=2{,}5,$$
$$a_n=1 \Rightarrow 0{,}5n-1=1 \Rightarrow n=4,$$
$$a_n=0 \Rightarrow 0{,}5n-1=0 \Rightarrow n=2.$$
Членами прогрессии являются числа 1 и 0.
В арифметической прогрессии
$$a_{31}=\frac{a_{30}+a_{32}}{2}=\frac{-8+102}{2}=47.$$
Для прогрессии $$\frac23,\ \frac34,\ \frac56,\ldots$$
$$a_1=\frac23,\quad a_2=\frac34,\quad d=a_2-a_1=\frac34-\frac23=\frac1{12}.$$
Тогда
$$S_6=\frac{6}{2}\bigl(2a_1+5d\bigr)=3\left(\frac43+\frac5{12}\right)=3\cdot\frac74=\frac{21}{4}=5{,}25.$$
Для геометрической прогрессии $$-162;\ -108;\ -72;\ldots$$
$$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-108}{-162}=\frac23,$$
поэтому
$$b_5=b_1q^4=-162\cdot\left(\frac23\right)^4=-32.$$
Знакочередующейся геометрической прогрессией является последовательность
$$2{,}5;\ -2;\ 1{,}6;\ldots$$
Решим уравнение
$$0{,}5^{\,3-n}=128.$$
Так как $$0{,}5=\frac12$$ и $$128=2^7,$$ то
$$\left(\frac12\right)^{3-n}=2^7 \Rightarrow 2^{n-3}=2^7 \Rightarrow n-3=7 \Rightarrow n=10.$$
Сумма бесконечной геометрической прогрессии:
$$b_1=\frac23,\quad q=-\frac23,\quad |q|<1.$$
$$S_\infty=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac23}{1+\frac23}=\frac{\frac23}{\frac53}=\frac25=0{,}4.$$
Пусть $$b_1=t+2,\ b_2=2\sqrt2,\ b_3=t.$$
Для геометрической прогрессии выполняется
$$b_2^2=b_1b_3,$$
значит
$$\left(2\sqrt2\right)^2=t(t+2),$$
$$8=t^2+2t,$$
$$t^2+2t-8=0.$$
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36,$$
$$t=\frac{-2\pm 6}{2}.$$
Получаем
$$t_1=-4,\quad t_2=2.$$
Ответ
1) А; 2) А, Б; 3) 2; 4) 12; 5) В; 6) 0,008; 7) Б; 8) Г; 9) 2; 10) 0, 4; 11) Б; 12) Г; 13) В, Г; 14) 47; 15) 5,25; 16) −32; 17) Г; 18) 10; 19) 0,4; 20) −4, 2.
