Тест Глава 2 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

1. $$2x^2+5x+3<0$$
   $$D=5^2-4\cdot2\cdot3=25-24=1$$
   $$x_1=\frac{-5-1}{2\cdot2}=-1{,}5,\quad x_2=\frac{-5+1}{2\cdot2}=-1$$
   Так как ветви параболы направлены вверх, то
   $$-1{,}5<x<-1.$$
   Верно: В.
2. а) если $$a>b,$$ то при прибавлении одного и того же числа неравенство сохраняется:
   $$b+10<a+10;$$
   б) при умножении на положительное число $$\frac15$$ знак неравенства сохраняется, но
   $$1-a<1-b,$$
   значит
   $$\frac{1-a}{5}<\frac{1-b}{5};$$
   в) неверно, так как при возведении в квадрат знак неравенства может измениться.

   Верные утверждения: А, Б.

3. А:
   $$16x^2-6x+1\ge 0$$
   $$D=(-6)^2-4\cdot16\cdot1=36-64=-28<0$$
   Значит, $$16x^2-6x+1>0$$ при всех $$x,$$ то есть решений бесконечно много.

   Б:
   $$x^2+4x+16\le 0$$
   $$D=4^2-4\cdot1\cdot16=16-64=-48<0$$
   Следовательно, решений нет.

   В:
   $$-16x^2+8x-1\ge 0$$
   $$16x^2-8x+1\le 0$$
   $$\left(4x-1\right)^2\le 0$$
   Отсюда
   $$4x-1=0,\quad x=0{,}25.$$

   Соответствие:
   А–3, Б–1, В–2.

4. $$x(x+3)(5-x)>0$$
   $$x(x+3)(x-5)<0$$
   Корни: $$x=-3,\;0,\;5.$$
   Знак произведения отрицателен на промежутках
   $$x<-3,\quad 0<x<5.$$
   Верно: Б.
5. $$\sqrt{\frac{3x+2}{2x-6}}$$
   Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель не равен нулю:
   $$\frac{3x+2}{2x-6}\ge 0,\quad x\ne 3.$$
   Критические точки:
   $$3x+2=0 \Rightarrow x=-\frac23,\qquad 2x-6=0 \Rightarrow x=3.$$
   Получаем
   $$x\le -\frac23,\quad x>3.$$
   Верно: Б.
6. А:
   $$\begin{cases} x>0{,}3,\\ -x>-\frac13 \end{cases}$$
   $$-x>-\frac13 \Rightarrow x<\frac13,$$
   значит
   $$0{,}3<x<\frac13.$$

   Б:
   $$\begin{cases} -x>-0{,}3,\\ x<\frac13 \end{cases}$$
   $$-x>-0{,}3 \Rightarrow x<0{,}3,$$
   тогда
   $$x<0{,}3.$$

   В:
   $$\begin{cases} -x<-0{,}3,\\ -x<-\frac13 \end{cases}$$
   $$x>0{,}3,\quad x>\frac13,$$
   значит
   $$x>\frac13.$$

   Соответствие:
   А–3, Б–4, В–2.

7. $$\left(1-x\right)^2(2-x)(4+x)\le 0$$
   Так как
   $$\left(1-x\right)^2\ge 0,$$
   то знак произведения определяется множителем
   $$(2-x)(4+x)\le 0.$$
   Корни:
   $$x=-4,\quad x=2.$$
   Тогда
   $$x\le -4,\quad x\ge 2.$$
   Верно: Г.
8. $$\begin{cases} x^2<16,\\ 3x-1>4x+1 \end{cases}$$
   Первое неравенство:
   $$-4<x<4.$$
   Второе неравенство:
   $$3x-1>4x+1$$
   $$-x>2$$
   $$x<-2.$$
   Пересечение:
   $$(-4;-2).$$
   Верно: А.
9. $$\begin{cases} 4x+7>8-x,\\ 4x+7<x-8 \end{cases}$$
   Первое неравенство:
   $$5x>1,\quad x>0{,}2.$$
   Второе неравенство:
   $$3x<-15,\quad x<-5.$$
   Так как требуется совокупность, получаем
   $$x<-5 \quad \text{или} \quad x>0{,}2.$$
   Верно: Б.
10. $$|x-2|=4-x^2$$
    Правая часть должна быть неотрицательной:
    $$4-x^2\ge 0 \Rightarrow -2\le x\le 2.$$

    1) Если $$x\ge 2,$$ то
    $$|x-2|=x-2,$$
    и
    $$x-2=4-x^2.$$
    При $$x=2$$ получаем верное равенство.

    2) Если $$x<2,$$ то
    $$|x-2|=2-x,$$
    и
    $$2-x=4-x^2.$$
    $$x^2-x-2=0$$
    $$\left(x-2\right)\left(x+1\right)=0$$
    Отсюда $$x=-1$$ (значение $$x=2$$ не подходит, так как $$x<2$$).

    Итак,
    $$x=-1,\;2.$$

Ответ

1) В; 2) А, Б; 3) А–3, Б–1, В–2; 4) Б; 5) Б; 6) А–3, Б–4, В–2; 7) Г; 8) А; 9) Б; 10) $$x=-1,\;2$$.