Упр.9.23 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Дана функция $$y=f(x)$$, где $$f(x)=\begin{cases}x+8, & \text{если } -7\leq x<-4;\\(x+2)^2, & \text{если } -4\leq x<1;\\11-2x, & \text{если } 1\leq x\leq 4.\end{cases}$$ При каких значениях параметра $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет один корень? Не менее трёх корней?

Подробный ответ

Рассмотрим график функции по частям:

$$f(x)= \begin{cases} x+8, & -7\le x<-4,\\ (x+2)^2, & -4\le x<1,\\ 11-2x, & 1\le x\le 4. \end{cases}$$

Нужно определить, при каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет:

один корень;
не менее трёх корней.

1) Один корень.

Рассмотрим пересечение графика с горизонтальной прямой $$y=p$$.

На первом отрезке $$y=x+8$$ значения функции меняются от $$1$$ до $$4$$, причём каждое значение из этого промежутка достигается один раз.
На втором участке $$y=(x+2)^2$$ значения лежат в промежутке от $$0$$ до $$16$$, но на данном отрезке график даёт одно пересечение с прямой $$y=p$$ при $$0<p<4$$ и два пересечения при $$4<p<16$$; при $$p=0$$ и $$p=4$$ пересечения особые.
На третьем участке $$y=11-2x$$ значения меняются от $$9$$ до $$3$$.

Единственное пересечение получается только при $$p=0$$ и $$p=9$$.

2) Не менее трёх корней.

Три и более пересечения с графиком получаются тогда, когда прямая $$y=p$$ пересекает все три части графика.

Это происходит при $$p\in[1;4]$$.