Упр.9.23 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов, Александрова 9 класс, Просвещение: Дана функция y=f(x), где f(x)={x+8, если -7?x<-4; (x+2)^2, если -4?x<1; 11-2x, если 1?x?4}. При каких значениях параметра р уравнение f(x)=p имеет один корень? не менее трёх корней? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 9 mord_semenov9 9-23 95

Подробный ответ

Рассмотрим график функции по частям:

$$ f(x)= \begin{cases} x+8, & -7\le x<-4,\\ (x+2)^2, & -4\le x<1,\\ 11-2x, & 1\le x\le 4. \end{cases} $$

Нужно определить, при каких значениях $$p$$ уравнение $$f(x)=p$$ имеет:

один корень;
не менее трёх корней.

1) Один корень.

Рассмотрим пересечение графика с горизонтальной прямой $$y=p$$.

На первом отрезке $$y=x+8$$ значения функции меняются от $$1$$ до $$4$$, причём каждое значение из этого промежутка достигается один раз.
На втором участке $$y=(x+2)^2$$ значения лежат в промежутке от $$0$$ до $$16$$, но на данном отрезке график даёт одно пересечение с прямой $$y=p$$ при $$0<p<4$$ и два пересечения при $$4<p<16$$; при $$p=0$$ и $$p=4$$ пересечения особые.
На третьем участке $$y=11-2x$$ значения меняются от $$9$$ до $$3$$.

Единственное пересечение получается только при $$p=0$$ и $$p=9$$.

2) Не менее трёх корней.

Три и более пересечения с графиком получаются тогда, когда прямая $$y=p$$ пересекает все три части графика.

Это происходит при $$p\in[1;4]$$.