Упр.9.21 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

б) Два друга Андрей и Борис вышли из лагеря ио направлениям, образующим прямой угол. Андрей шёл со скоростью 4 км/ч, а Борис — со скоростью 5 км/ч. Друзья могли связаться друг с другом с помощью рации, которая может работать на расстоянии не более 17 км. Сколько времени друзья могут быть на связи, если известно, что Борис вышел на 1 ч позже Андрея?

а) Пусть связь была возможна в течение $$t$$ ч после выхода второй группы.

За это время первая группа шла $$t+2$$ ч, а вторая — $$t$$ ч. Расстояние между группами:

$$\sqrt{(4(t+2))^2+(5t)^2}\le 13.$$

Возведём в квадрат:

$$16(t+2)^2+25t^2\le 169$$

$$16(t^2+4t+4)+25t^2\le 169$$

$$41t^2+64t+64\le 169$$

$$41t^2+64t-105\le 0.$$

Найдём корни уравнения $$41t^2+64t-105=0$$:

$$D=64^2-4\cdot 41\cdot(-105)=4096+17220=21316,$$

$$\sqrt{D}=146.$$

Тогда

$$t_1=\frac{-64-146}{2\cdot 41}=-\frac{105}{41},\qquad t_2=\frac{-64+146}{2\cdot 41}=1.$$

Так как парабола направлена вверх, то

$$-\frac{105}{41}\le t\le 1.$$

С учётом смысла задачи $$t\ge 0$$, значит

$$0\le t\le 1.$$

б) Пусть связь была возможна в течение $$t$$ ч после выхода Бориса.

Тогда Андрей шёл $$t+1$$ ч, а Борис — $$t$$ ч. Получаем:

$$\sqrt{(4(t+1))^2+(5t)^2}\le 17.$$

Возведём в квадрат:

$$16(t+1)^2+25t^2\le 289$$

$$16(t^2+2t+1)+25t^2\le 289$$

$$41t^2+32t+16\le 289$$

$$41t^2+32t-273\le 0.$$

Найдём корни уравнения $$41t^2+32t-273=0$$:

$$D=32^2-4\cdot 41\cdot(-273)=1024+44772=45796,$$

$$\sqrt{D}=214.$$

Тогда

$$t_1=\frac{-32-214}{2\cdot 41}=-3,\qquad t_2=\frac{-32+214}{2\cdot 41}=\frac{182}{82}=\frac{91}{41}=2\frac{9}{41}.$$

Следовательно,

$$-3\le t\le 2\frac{9}{41}.$$

С учётом смысла задачи $$t\ge 0$$, значит

$$0\le t\le 2\frac{9}{41}.$$

Ответ

а) не более $$1$$ ч; б) не более $$2\frac{9}{41}$$ ч.