Упр.9.20 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

б) Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника увеличили на 6 см и 4 см. Чему равен катет исходного прямоугольного треугольника, если известно, что площадь полученного треугольника меньше удвоенной площади исходного?

Подробный ответ

а) Пусть ширина прямоугольника равна $$x$$ см, тогда его длина равна $$x+4$$ см. По условию площадь не превышает $$357$$ см$$^2$$:

$$x(x+4)\le 357$$

$$x^2+4x-357\le 0$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=4^2-4\cdot 1\cdot(-357)=16+1428=1444$$

$$\sqrt{D}=38$$

$$x_{1,2}=\frac{-4\pm 38}{2}$$

$$x_1=-21,\quad x_2=17$$

Тогда

$$-21\le x\le 17$$

Так как $$x>0$$, получаем $$0<x\le 17$$. Следовательно, длина прямоугольника

$$x+4\le 21$$

и при этом $$x+4>4$$.

Ответ для а): от $$4$$ см до $$21$$ см.

б) Пусть катет исходного равнобедренного прямоугольного треугольника равен $$x$$ см. Тогда после увеличения катеты стали равны $$x+6$$ и $$x+4$$. Площадь полученного треугольника меньше удвоенной площади исходного:

$$\frac12(x+6)(x+4)<2\cdot \frac12 x^2$$

$$\frac12(x+6)(x+4)<x^2$$

$$x^2+10x+24<2x^2$$

$$x^2-10x-24>0$$

Найдём корни:

$$D=10^2-4\cdot 1\cdot(-24)=100+96=196$$

$$\sqrt{D}=14$$

$$x_{1,2}=\frac{10\pm 14}{2}$$

$$x_1=-2,\quad x_2=12$$

Тогда

$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>12$$

Так как $$x>0$$, получаем $$x>12$$.