Упр.9.2 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) x^2-6x+5>0; г) x^2-5x+4<0; б) x^2-5x-14?0; д) x^2+4x+32?0; в) x^2-6x+11>0; е) x^2+8x+12>0.
а) $$x^2-6x+5>0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 5=36-20=16$$
$$x_{1,2}=\frac{6\pm 4}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=5$$
Тогда
$$x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$$
Произведение положительно вне корней:
$$x<1 \quad \text{или} \quad x>5$$
б) $$x^2-5x-14\le 0$$
Найдём корни:
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 9}{2}$$
$$x_1=-2,\quad x_2=7$$
Тогда
$$x^2-5x-14=(x+2)(x-7)$$
При нестрогом неравенстве берём промежуток между корнями:
$$-2\le x\le 7$$
в) $$x^2-6x+11>0$$
$$D=6^2-4\cdot 1\cdot 11=36-44=-8$$
Так как $$D<0$$, а старший коэффициент положительный, то квадратный трёхчлен всегда положителен.
Следовательно,
$$x\in \mathbb{R}$$
г) $$x^2-5x+4<0$$
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$$
$$x_{1,2}=\frac{5\pm 3}{2}$$
$$x_1=1,\quad x_2=4$$
Тогда
$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$$
Произведение отрицательно между корнями:
$$1<x<4$$
д) $$x^2+4x+32\ge 0$$
$$D=4^2-4\cdot 1\cdot 32=16-128=-112$$
Так как $$D<0$$, а старший коэффициент положительный, то выражение всегда положительно, значит и неотрицательно при любых $$x$$.
$$x\in \mathbb{R}$$
е) $$x^2+8x+12>0$$
$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 12=64-48=16$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 4}{2}$$
$$x_1=-6,\quad x_2=-2$$
Тогда
$$x^2+8x+12=(x+6)(x+2)$$
Произведение положительно вне корней:
$$x<-6 \quad \text{или} \quad x>-2$$
Ответ
а) $$(-\infty;1)\cup(5;+\infty)$$; б) $$[-2;7]$$; в) $$(-\infty;+\infty)$$; г) $$ (1;4) $$; д) $$(-\infty;+\infty)$$; е) $$(-\infty;-6)\cup(-2;+\infty)$$.
