Упр.9.18 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)
а) 1/(x^2+7x+12)<0; г) 1/(x^2-2x-15)>0;
б) 3/(x^2+x-42)?0; д) 5/(x^2-x-30)?0;
в) 4/(5+16x-3x^2)>0; е) 2/(15+x-2x^2)<0.
а) $$\frac{1}{x^2+7x+12}<0$$
Так как числитель положителен, дробь меньше нуля тогда и только тогда, когда знаменатель отрицателен:
$$x^2+7x+12<0$$
$$x^2+7x+12=(x+4)(x+3)$$
Тогда
$$-4<x<-3$$
б) $$\frac{3}{x^2+x-42}\ge 0$$
Числитель положителен, значит нужно, чтобы знаменатель был положительным:
$$x^2+x-42>0$$
$$x^2+x-42=(x+7)(x-6)$$
Произведение положительно при
$$x<-7 \quad \text{или} \quad x>6$$
в) $$\frac{4}{5+16x-3x^2}>0$$
Числитель положителен, значит знаменатель должен быть положительным:
$$5+16x-3x^2>0$$
$$3x^2-16x-5<0$$
Найдём корни уравнения $$3x^2-16x-5=0$$:
$$D=16^2+4\cdot 3\cdot 5=316$$
$$x_{1,2}=\frac{16\pm\sqrt{316}}{6}=\frac{8\pm\sqrt{79}}{3}$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то неравенство выполняется между корнями:
$$\frac{8-\sqrt{79}}{3}<x<\frac{8+\sqrt{79}}{3}$$
г) $$\frac{1}{x^2-2x-15}>0$$
Нужно, чтобы знаменатель был положительным:
$$x^2-2x-15>0$$
$$x^2-2x-15=(x+3)(x-5)$$
Тогда
$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>5$$
д) $$\frac{5}{x^2-x-30}\le 0$$
Так как числитель положителен, дробь не может быть равна нулю, значит нужно:
$$x^2-x-30<0$$
$$x^2-x-30=(x+5)(x-6)$$
Следовательно,
$$-5<x<6$$
е) $$\frac{2}{15+x-2x^2}<0$$
Числитель положителен, значит знаменатель должен быть отрицательным:
$$15+x-2x^2<0$$
$$2x^2-x-15>0$$
Найдём корни уравнения $$2x^2-x-15=0$$:
$$D=1+120=121$$
$$x_{1,2}=\frac{1\pm 11}{4}$$
$$x_1=-\frac{5}{2}, \quad x_2=3$$
Так как коэффициент при $$x^2$$ положителен, то
$$x<-\frac{5}{2} \quad \text{или} \quad x>3$$
Ответ
а) $$(-4;\,-3)$$; б) $$(-\infty;\,-7)\cup(6;\,+\infty)$$; в) $$\left(\frac{8-\sqrt{79}}{3};\,\frac{8+\sqrt{79}}{3}\right)$$; г) $$(-\infty;\,-3)\cup(5;\,+\infty)$$; д) $$(-5;\,6)$$; е) $$(-\infty;\,-\frac{5}{2})\cup(3;\,+\infty)$$.
