Упр.9.17 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

Задача

а) x^4-10x^2+9<0; г) x^4-13x^2+36>0;
б) 4x^4+15x^2-4?0; д) 4x^4+35x^2-9?0;
в) x^4-32x^2+175?0; е) x^4-14x^2+13?0.

Подробный ответ

а) $$x^4-10x^2+9<0$$
Сделаем замену $$t=x^2$$. Тогда получаем:
$$t^2-10t+9<0$$
$$D=10^2-4\cdot 9=64$$
$$t_{1,2}=\frac{10\pm 8}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=9$$
Тогда
$$ (t-1)(t-9)<0 $$
$$ 1<t<9 $$
Возвращаемся к $$x$$:
$$1<x^2<9$$
$$-3<x<-1,\quad 1<x<3$$
б) $$4x^4+15x^2-4\ge 0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда:
$$4t^2+15t-4\ge 0$$
$$D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=289$$
$$t_{1,2}=\frac{-15\pm 17}{8}$$
$$t_1=-4,\quad t_2=\frac14$$
Следовательно,
$$ (t+4)\left(t-\frac14\right)\ge 0 $$
Так как $$t=x^2\ge 0$$, получаем:
$$x^2\ge \frac14$$
$$x\le -\frac12,\quad x\ge \frac12$$
в) $$x^4-32x^2+175\le 0$$
Пусть $$t=x^2$$. Тогда:
$$t^2-32t+175\le 0$$
$$D=32^2-4\cdot 175=324$$
$$t_{1,2}=\frac{32\pm 18}{2}$$
$$t_1=7,\quad t_2=25$$
Значит,
$$ (t-7)(t-25)\le 0 $$
$$ 7\le t\le 25 $$
То есть
$$7\le x^2\le 25$$
$$-5\le x\le -\sqrt7,\quad \sqrt7\le x\le 5$$
г) $$x^4-13x^2+36>0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда:
$$t^2-13t+36>0$$
$$D=13^2-4\cdot 36=25$$
$$t_{1,2}=\frac{13\pm 5}{2}$$
$$t_1=4,\quad t_2=9$$
Следовательно,
$$ (t-4)(t-9)>0 $$
$$ t<4 \quad \text{или} \quad t>9 $$
Возвращаемся к $$x$$:
$$x^2<4 \quad \text{или} \quad x^2>9$$
$$-2<x<2,\quad x<-3,\quad x>3$$
д) $$4x^4+35x^2-9\le 0$$
Пусть $$t=x^2$$. Тогда:
$$4t^2+35t-9\le 0$$
$$D=35^2+4\cdot 4\cdot 9=1369$$
$$t_{1,2}=\frac{-35\pm 37}{8}$$
$$t_1=-9,\quad t_2=\frac14$$
Тогда
$$ (t+9)\left(t-\frac14\right)\le 0 $$
С учётом $$t=x^2\ge 0$$ получаем:
$$x^2\le \frac14$$
$$-\frac12\le x\le \frac12$$
е) $$x^4-14x^2+13\ge 0$$
Положим $$t=x^2$$. Тогда:
$$t^2-14t+13\ge 0$$
$$D=14^2-4\cdot 13=144$$
$$t_{1,2}=\frac{14\pm 12}{2}$$
$$t_1=1,\quad t_2=13$$
Следовательно,
$$ (t-1)(t-13)\ge 0 $$
$$ t\le 1 \quad \text{или} \quad t\ge 13 $$
То есть
$$x^2\le 1 \quad \text{или} \quad x^2\ge 13$$
$$-1\le x\le 1,\quad x\le -\sqrt{13},\quad x\ge \sqrt{13}$$