Упр.9.11 Часть 1 ГДЗ Мордкович Семенов 9 класс (Алгебра)

а) трёхчлен 3x^2+5x+2 принимает положительные значения;
б) трёхчлен 4x^2-7x+3 принимает неотрицательные значения?

а) Решим неравенство $$3x^2+5x+2>0.$$

Найдём корни квадратного трёхчлена:

$$D=5^2-4\cdot 3\cdot 2=25-24=1.$$

$$x_{1,2}=\frac{-5\pm \sqrt{1}}{2\cdot 3}=\frac{-5\pm 1}{6}.$$

Тогда

$$x_1=-1,\qquad x_2=-\frac23.$$

Разложим на множители:

$$3x^2+5x+2=(x+1)(3x+2).$$

Так как старший коэффициент положительный, то трёхчлен принимает положительные значения вне промежутка между корнями:

$$x<-1 \quad \text{или} \quad x>-\frac23.$$

б) Решим неравенство $$4x^2-7x+3\ge 0.$$

Найдём корни:

$$D=7^2-4\cdot 4\cdot 3=49-48=1.$$

$$x_{1,2}=\frac{7\pm \sqrt{1}}{2\cdot 4}=\frac{7\pm 1}{8}.$$

Тогда

$$x_1=\frac34,\qquad x_2=1.$$

Разложим на множители:

$$4x^2-7x+3=(4x-3)(x-1).$$

Так как старший коэффициент положительный, то неравенство $$4x^2-7x+3\ge 0$$ выполняется вне промежутка между корнями, включая сами корни:

$$x\le \frac34 \quad \text{или} \quad x\ge 1.$$

Ответ

а) $$(-\infty;\,-1)\cup\left(-\frac23;\,+\infty\right).$$

б) $$(-\infty;\,\frac34]\cup[1;\,+\infty).$$